3.2.2 关于随机变量的条件数学期望
设X,Y为概率空间(Ω,F,P)上的两个随机变量,在Y=y的条件下,X的条件分布函数为FX|Y(x|y),g(x)为一元Borel函数.
定义3.2.2在Y=y的条件下,g(X)的条件数学期望定义为
E[g(X)|Y=y]可简记为E[g(X)|y].
若X,Y为离散型随机变量,X的可能值为x1,x2,···,则当P{Y=y}＞0时,有
若X,Y为连续型随机变量,联合概率密度为f(x,y),Y的概率密度为fY(y),在Y=y的条件下,X的条件概率密度为fX|Y(x|y),则当fY(y)＞0时,有
特别地,若取g(x)=x,则式(3.2.3)和式(3.2.4)变为
这就是在Y=y的条件下,X的条件数学期望的计算公式.
根据条件数学期望的定义知,当y固定时,E[g(X)|Y=y]是一个常数;当y变化时,E[g(X)|Y=y]就成为y的一个函数,故可记为
若以Y代替y,则可得随机变量Y的函数,记为
称E[g(X)|Y]为g(X)关于Y的条件数学期望.在通常情况下,它是一个随机变量.
类似地,可定义条件数学期望E[g(X)|Y,Z],E[g(X)|Y1,Y2,···,Yn],E[g(X1,X2)|Y]等.
下面讨论条件数学期望的性质,但不给出严格证明,仅给出连续型情形下的直观证明.
以下设X,Y,Z,X1,X2为随机变量;a1,a2为常数;g(x),h(x),g1(x),g2(x)均为Borel函数;f为概率密度.假定所提到的数学期望和条件数学期望都存在.
性质1若g≥0,则E[g(X)|Y]≥0.
证由式(3.2.4),E[g(X)|Y=y]≥0,把y换成Y,便得E[g(X)|Y]≥0.
证毕
推论3.2.2|E[g(X)|Y]|≤E[|g(X)||Y].
推论3.2.3如果g1≤g2,则E[g1(X)|y]≤E[g2(X)|y].
性质2 E[a1g1(X1)+a2g2(X2)|Y]=a1E[g1(X1)|Y]+a2E[g2(X2)|Y].
证设在Y=y的条件下,X1,X2,(X1,X2)的条件概率密度分别为fX1|Y(x1|y),fX2|Y(x2|y),fX1,X2|Y(x1,x2|y),则易得
故
把y换成Y,便可得证.
证毕
性质3若X,Y独立,则E[g(X)|Y]=E[g(X)].
证由式(3.2.4),有
故E[g(X)|Y]=E[g(X)].
证毕
推论3.2.4设C为常数,则E[C|Y]=C.
证因为常数C与任何一个随机变量Y独立,利用性质3便可得证.
证毕
性质4 E{E[g(X)|Y]h(Y)}=E[g(X)h(Y)].
证
其中f(x,y)为X,Y的联合概率密度.
证毕
性质5 E{E[g(X)|Y]}=E[g(X)](全期望公式).
证在性质4中,取h(y)=1,便可得证.
证毕
这个性质说明,条件期望的期望等于无条件期望.利用这个性质,还可得到一些常用的公式.
注意到E[g(X)|Y]是Y的函数,故利用该性质以及定理3.1.6可得
若取g(x)=x,又可得
(https://www.daowen.com)
进一步,若取X=IA(IA为示性函数,A为事件),则
这几个公式的应用非常广泛.
性质6 E[g(X)h(Y)|Y]=h(Y)E[g(X)|Y].
证在Y=y的条件下,
把y换成Y,便可得证.
证毕
性质7 E[h(Y)|Y]=h(Y).
证在性质6中,取g(x)=1,便可得证.
证毕
由性质7可得
例3.2.2设(X,Y)在圆x2+y2＜1内均匀分布,则概率密度为
求E[X|Y].
解Y的概率密度为
当|y|≥1时,fY(y)=0,故fX|Y(x|y)不存在;
当|y|＜1时,
所以,当|y|＜1时,
例3.2.3设随机变量X1,X2,Y相互独立,Xi～Exp(λi)(λi＞0,i=1,2),Y～Exp(μ)(μ＞0),令
求X的分布函数.
解设Xi,X的分布函数分别为Fi(x),FX(t),i=1,2,则
由概率的可加性及式(3.2.9)得,当t≥0时,
当t＜0时,FX(t)=0.
例3.2.4设随机变量X,Y的联合概率密度为
(1)当0＜x＜1时,求条件概率密度fY|X(y|x);
(2)求E(Y|X),D(Y|X).
解(1)
所以,对于0＜x＜1,条件概率密度为
例3.2.5设随机变量X,Y的联合概率密度为
(1)求条件概率密度fY|X(y|x);
(2)求E(Y|X),D(Y|X).
解(1)
所以,对于0＜x＜+∞,条件概率密度为
