3.4　 n维正态随机变量的一个性质

3.4　 n维正态随机变量的一个性质

设X=(X1,···,Xn)是概率空间(Ω,F,P)上的n维随机变量,E(X)=(E(X1),···,E(Xn))为X的数学期望,矩阵

为X的协方差矩阵（方差阵）,其中bij=E{[Xi-E(Xi)][Xj-E(Xj)]},i,j=1,···,n.

协方差矩阵B具有下面的性质：

（1）bij=bji,i,j=1,···,n;

（2）如果bij有限,i,j=1,···,n,则协方差矩阵B是非负定的,因而|B|≥0.

证明从略.

下面利用协方差矩阵给出n维正态分布的定义及它的一个重要性质.

定义3.4.1设矩阵a=(a1,···,an)是一n维向量,B=(bij)是一实对称正定矩阵.如果n维随机变量X=(X1,···,Xn)的概率密度为

则称X服从n维正态分布,记作X～N(a,B),其中x=(x1,···,xn).

定理3.4.1如果X～N(a,B),则存在正交矩阵T,使得由变换

得到的n维随机变量Y=(Y1,···,Yn)的各分量Y1,···,Yn独立,且Yi～N(0,di),di＞0,i=1,···,n.(https://www.daowen.com)

证由于B为实对称正定矩阵,故存在正交矩阵T,使得

作线性变换

对应的变量之间的线性变换为

即

其中y=(y1,···,yn).变换的雅可比行列式J=|T′|=|T|=±1,而且

于是由定理2.6.3可知,Y的概率密度为

可见Y1,···,Yn独立,且Yi～N(0,di),di＞0,i=1,···,n.

证毕