3.6　习题

3.6　习题

1.设X,Y是两个相互独立的随机变量,且D(X)＜+∞,D(Y)＜+∞,试证：

2.设随机变量X的分布函数为F(x),证明：若E(X)有限,则

3.设{Xn,n≥1}是均值有限的同分布的随机变量列,证明：

4.设r＞1,X为非负随机变量,证明：

其中X∧ur=min(X,ur).

5.设X,Y是取非负整数的独立随机变量,E(X)＜+∞,E(Y)＜+∞,试证：

6.假设X是非负随机变量,只取有限个值x1,···,xm,试证：

7.设X1,···,Xn是任意n个独立同分布的正值随机变量,试证：对任意1≤k＜n,有

8.假设随机变量X1,···,Xn,Y1,···,Yn相互独立,其中E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2(i=1,···,n),而Yj(j=1,2,···,n)服从参数为p的0–1分布,令

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10.设f(x)(x＞0)是一正值上升函数,X是一随机变量,证明：若E[f(|X|)]＜+∞,则有

11.试证：如果E(X)有限,则

13.设随机向量X=(X,Y)有概率密度

其中p(u),u∈(-∞,+∞)是一维分布密度,p(u)=0(当u∈(-∞,0)时),试求X的协方差矩阵.

16.设随机变量X1,···,Xn相互独立,并且有相同的数学期望μ和方差σ2,令

试证：

18.设X和Y独立同分布,求D(X|X+Y).已知：

(1)X在[0,1]上有均匀分布;

(2)X服从参数为λ的指数分布.