3.5 几个重要的不等式
本节内容参考文献[1].下面介绍几个在概率论和随机过程中常用的不等式.
1.Chebyshev不等式
设X是(Ω,F,P)上的随机变量,g(x)是非负函数且在(0,+∞)上单调不减,则对任意ε＞0,有
上述不等式的特殊情况是如下的Chebyshev不等式：
如果E(X)有限,D(X)存在,则对任意ε＞0,有
2.Hölder不等式
如果上述不等式两端有限,则等号成立的充要条件是：存在不全为零的常数c1,c2,使得c1|X|r+c2|Y|s=0 a.s..
引理3.5.1若a≥0,b≥0,0＜α＜1,α+β=1,则
且等号成立的充要条件是a=b.
证当a,b之一为0时,结论显然成立.设ab／=0时,不等式可以化为
此时考虑函数f(x)=xα-αx-β(x＞0),则有
证毕
下面证明Hölder不等式.当X=0 a.s.或Y=0 a.s.时,E(|X|r)=+∞或E(|Y|s)=+∞,不等式显然成立.当0＜E(|X|r),E(|Y|s)＜+∞时,在引理3.5.1中取
则有
两边取数学期望,即得Hölder不等式.由引理3.5.1和非负随机变量数学期望的性质可知,上述不等式等号成立的充要条件是
Hölder不等式有下面两个特殊情况：
（1）Cauchy-Schwarz不等式：|E(XY)|2≤E(|X|2)·E(|Y|2);
（2）如果E(|X|r)＜+∞,则[E(|X|r′)]1/r′≤[E(|X|r)]1/r,0＜r′＜r.
3.Cr-不等式
设X1,···,Xn为随机变量,则
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其中
等号成立的充要条件是：当r＞1时,X1=···=Xn a.s.;当r=1时,X1,···,Xn a.s.同号;当r＜1时,至多有一个i(0＜i≤n),使得P{Xi／=0}＞0.
引理3.5.2设a1,···,an为n个实数,则
其中
等号成立的充要条件是：当r＞1时,a1=···=an;当r=1时,a1,···,an同号;当r＜1时,a1,···,an中至多有一个不为零.
在Hölder不等式中取Y=1,有
即有
上式第二个等号成立的充要条件是|a1|=···=|an|,而第一个等号成立的充要条件是a1,···,an同号,故等号成立的充要条件是a1=···=an.当r≤1时,不妨设定a1,···,an不全为0,由于
将上面的不等式对k求和,即得
当r=1时,等号成立的充要条件是a1,···,an同号;当r＜1时,等号成立的充要条件是a1,···,an中至多有一个不为零.
证毕
下面证明Cr不等式.由引理3.5.2得
两边取数学期望,便得
当r＞1时,等号成立的充要条件是X1=···=Xn a.s.;当r=1时,等号成立的充要条件是X1,···,Xn a.s.同号;当r＜1时,等号成立的充要条件是至多有一个i(1≤i≤n),使得P{Xi／=0}＞0.
4.Minkowski不等式
设r≥1,X,Y为随机变量,则
等号成立的充要条件是：当r＞1时,存在不全为零且同号的常数C1,C2,使得C1XC2Y=0 a.s.;当r=1时,X,Y a.s.同号.
证明上述不等式.如果E(|X+Y|r)=0,不等式显然成立.如果E(|X+Y|r)=+∞,则由Cr不等式,有E(|X|r)=+∞或E(|Y|r)=+∞,所以不等式成立.下设0＜E(|X+Y|r)＜+∞.
当r=1时,不等式显然成立.当r＞1时,由Hölder不等式,有
