4.3.1　 n维正态分布的特征函数

4.3.1　 n维正态分布的特征函数

设n维随机变量(X1,···,Xn)～N(a,B),概率密度为

其中B=(bjk)满足以下条件：

（1）对称性：bjk=bkj(j,k=1,2,···,n);

（2）正定性：对任意不全为0的实数λ1,···,λn,均有

|B|是矩阵B的行列式,a=(a1,···,an)∈R(n),x=(x1,···,xn).

定理4.3.1若X=(X1,···,Xn)～N(a,B),则有如下性质：

（1）X的特征函数是

中的Y1,···,Yn是相互独立的,于是有

其中φYj(tj)是Yj的特征函数.

另外,

其中Y′=T(X-a)′,s=tT′.

由于t′=T-1s′,t=s(T-1)′=sT,所以

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于是有

（2）由于(Xk1,···,Xkm)是(X1,···,Xn)的任一子向量,由式(4.2.4),(Xk1,···,Xkm)的特征函数为

因此,(Xk1,···,Xkm)的分布是一m维正态分布N(˜a,˜B).

（3）由式(4.2.4),有

于是有E(Xj)=aj,D(Xj)=bjj,再由特征函数的性质有

因此,

（4）若X1,···,Xn独立,则对任意j／=k,Xj与Xk独立,且由于bjj＞0,bkk＞0,bjk=0,所以Xj,Xk不相关,即X1,···,Xn两两不相关.

反之,若X1,···,Xn两两不相关,则对任意j／=k,由bjj＞0,bkk＞0知bjk=0,于是

故X1,···,Xn独立.

证毕

注4.3.1设B=(bij)为实对称非负定矩阵.若n维随机变量X=(X1,···,Xn)的特征函数为

则称X为n维正态随机变量,记作X～N(a,B).在这种情况下,定理4.3.1的性质（2）、（3）、（4）仍成立.