5.1.2　 r阶收敛

5.1.2　 r阶收敛

定义5.1.2设对随机变量Xn及X有E|Xn|r＜+∞,E|X|r＜+∞,其中r＞0为常数,如果

例5.1.3对于例5.1.1中的{Xn},当0＜r＜1时,

下面讨论r阶收敛与依概率收敛的关系.

引理5.1.1(Markov不等式)设E|X|r＜+∞,其中r＞0为常数,则∀ε＞0,有

证设X的分布函数为F(x),则

证毕

Markov不等式是Chebyshev不等式的推广.当r=2时,用X-EX代替X,可得Chebyshev不等式

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定理5.1.2

证由Markov不等式得

证毕

定理5.1.2的逆命题不真.

但是,{ln(1+Xn)}r阶收敛于0,这是因为

在r阶收敛中,当r=2时,称为均方收敛,这是最重要的情形.在平稳过程的相关部分,将对均方收敛进行详细讨论.当r=1时,称为平均收敛.