5.1.3　以概率1收敛（几乎处处收敛）

5.1.3　以概率1收敛（几乎处处收敛）

定义5.1.3如果

利用De Morgan原理、概率上连续性等,可知以概率1收敛有如下几个等价的命题：

另外,以概率1收敛也等价于以下3个式子：

定理5.1.3

证毕

定理5.1.3的逆命题不真,所以,以概率1收敛是比依概率收敛更强的一种收敛性.

由上式易知,

(https://www.daowen.com)

在式(5.1.5)中,令事件

则式(5.1.5)就变成了

关于上限事件,还有下面的重要结论.

引理5.1.2(Borel-Cantelli引理)设有事件序列{An},

证毕

引理5.1.2表明,对于相互独立事件序列{An},有

证记An={|Xn|≥ε},则{An}为独立事件列,故由Borel-Cantelli引理以及式(5.1.5)得

证毕