5.1.4　依分布收敛

5.1.4　依分布收敛

分布函数的弱收敛是一种重要的收敛性质,中心极限定理所讨论的问题与分布函数的弱收敛有关.下面先给出弱收敛的定义.

定义5.1.4设有分布函数列{Fn(x)},如果存在一个单调增加函数F(x),使得在F(x)的每一连续点x上都有

依分布收敛与依概率收敛的关系可以从下面定理中看出.

定理5.1.6

证设x′＜x,则

两边取概率得

对式(5.1.7)两边取下极限得

又设x′′＞x,则

对式(5.1.9)两边取上极限得

由式(5.1.8)和式(5.1.10),对于x′＜x＜x′′,有

设x是F(x)的连续点,令x′↑x,x′′↓x,得

所以

证毕(https://www.daowen.com)

定理5.1.6的逆命题不真.

例5.1.5设随机变量X在[-1,1]上服从均匀分布,对一切n,令Xn(ω)≡-X(ω),则显然Xn与X同分布,即对一切n,有Fn(x)≡F(x),故有

但是,对于0＜ε＜1,

证毕

证因为

所以

现对每个固定的k,有

回到式(5.1.11)可得,P{X／=Y}=0,即P{X=Y}=1.

证毕

例5.1.6说明,依概率收敛的极限以概率1唯一.

在概率统计的理论分析与应用中,我们还常用到以下结果,由于证明比较复杂,故此处从略.

本节4种收敛的关系如下：

注5.1.2以概率1收敛与r阶收敛不能互推,反例此处从略.