5.2 分布函数列弱收敛的条件
特征函数是研究极限定理的有力工具.在第4章中,已指出分布函数与特征函数是一一对应即相互确定的.由于我们希望得到一个分布函数列弱收敛到一个分布函数的充要条件,因此自然希望通过特征函数来表达这一条件.这就是所谓的“连续性定理”.这个结果最先由法国数学家保罗·皮埃尔·莱雅(Paul Pierre Lévy)及瑞典数学家哈拉尔德·克拉梅尔(Harald Cramér)证得,因此又称为Lévy-Cramér定理.下面进行介绍.
且上述收敛在t的任一有限区间内是一致的.
定理5.2.2(逆极限定理)设分布函数列Fn(x)的特征函数为φn(t)(n=1,2,···),φ(t)为某个函数,且在点t=0处连续.如果{φn(t)}收敛于φ(t),则
这两个定理的证明要用到较多数学分析的知识,证明过程较长,而以后用到的主要是结论,故证明从略.读者可参考文献[7]的5.2节或文献[8]的3.2节.由定理5.2.1和定理5.2.2可知,一个分布函数列弱收敛到一个分布函数的充要条件如下.
推论5.2.1设分布函数列Fn(x)的特征函数为φn(t)(n=1,2,···),分布函数F(x)的特征函数为φ(t),则
这个结论在概率统计中很重要,它的价值在于：为了论证分布函数列弱收敛于某个分布函数,只需证明相应的特征函数列收敛于某个特征函数即可,而后者只涉及普通的函数序列收敛问题,一般可用微积分工具解决.
又记ξn的特征函数为φn(t),则φn(t)=enλ(eit-1).所以,由特征函数性质得
故式(5.2.1)成立.
证毕
若把连续性定理应用于伯努利试验场合,则有如下结果.
定理5.2.3(De Moivre-Laplace积分极限定理)设μn是n重伯努利试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p(0＜p＜1),则对于任意a,b(a＜b),有
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因为Φ(x)在R(1)上连续,故由弱收敛定义知,上式即
再由推论5.2.1知,式(5.2.3)等价于
接下来只要证明式(5.2.4)成立.
因为μn～B(n,p),故μn的特征函数为
所以,Xn的特征函数为
于是式(5.2.4)成立,即式(5.2.3)成立,进一步得式(5.2.2)成立.
证毕
注5.2.1由定理5.1.5知,式(5.2.2)中的收敛关于a,b是一致的.
定理5.2.3在二项分布的近似计算中起着重要作用.因为由式(5.2.2)可得,当n较大时,
所以理论上可以证明,当p不太接近0或者1时,上述近似公式能得到良好的结果.
