6.1.1 随机过程的概念
在实际问题中,我们常常需要研究随时间的改变而变化的随机现象,这就要考虑随某个参数的改变而随机变化的过程,此时需要用一族（无穷多个）随机变量来刻画这样的随机现象,或者把它们作为无穷维空间上的随机函数来研究.对这样一类随机现象的研究便引出了随机过程的概念.直观地说,随机过程理论研究的对象是随机现象演变过程的统计规律性.先看两个例子.
例6.1.1如果要研究单位时间间隔内进入某个银行的客户数,则可用一个服从泊松分布的随机变量X来描述,即X～π(λ),其中λ＞0为常数,表示单位时间间隔内进入该银行的客户的平均人数,对X一次观察的结果是一非负整数;如果要研究n个时间间隔内进入该银行的客户数,则可用n维随机变量(X1,X2,···,Xn)来研究,其中Xi～π(λ),对(X1,X2,···,Xn)的一次观察的结果是分量为非负整数的n维向量;如果要研究随着t(t≥0)的不断变化,在(0,t]内进入该银行的客户数,则需要用一族随机变量X(t)来研究.对X(t)一次观察的结果则是自变量为t且取非负整数的不减函数.
例6.1.2考虑到测量从某地到某一目标的距离时存在误差,如果这一目标是不动的,由于某些随机因素的影响,测量的结果可用一个随机变量X来表示;如果目标是活动的,在整个运动过程对该目标进行跟踪测量,测量的结果就需要用一族随机变量X(t)来表示,一次测量的结果则是一自变量为t且取非负实数的函数x(t).
通过上面的例子可以看到,刻画一个随机变化的过程需要用到一族随机变量,对这样的过程一次观察的结果是一个变量的函数.因此,可以给出随机过程的如下两个定义.
定义6.1.1设(Ω,F,P)是一概率空间,T⊂(-∞,+∞)是一参数集,如果对于任意的t∈T,有一定义在Ω上的随机变量X(ω,t)与之对应,则称随机变量族{X(ω,t),t∈T}是参数集为T的随机过程,简记为{X(t),t∈T}或{X(t)}.在不发生混淆的情况下,也可记作X(t).
定义6.1.2设(Ω,F,P)是一概率空间,T⊂(-∞,+∞)是一参数集,如果对于每个ω∈Ω,总有一个普通的时间函数X(ω,t),t∈T与之对应,这样对于所有的ω∈Ω,就可得到一族时间t的函数,称函数族{X(ω,t),t∈T}是参数集为T的随机过程,称族中每一函数为该随机过程的样本函数.
注6.1.1若把X(ω,t)看成二元函数,则{X(ω,t),t∈T}有两个含义:
(1)当t∈T取定时,X(ω,t)是一随机变量,那么{X(ω,t),t∈T}是一族随机变量;
(2)当ω∈Ω取定时,X(ω,t)是一自变量为t且定义域为T的普通函数,那么,{X(ω,t),t∈T}是一族样本函数,可记为x(t)(t∈T).(https://www.daowen.com)
通常将随机过程{X(t),t∈T}解释成一个物理、自然或社会系统.若t∈T,ω∈Ω取定,则X(ω,t)是一确定数,把X(ω,t)(ω∈Ω,t∈T)所有可能的取值的全体记为E,称E为随机过程{X(t)}的状态空间或相空间.当t=t0∈T时,若X(t0)=x∈E,则称随机过程{X(t)}在时刻t0处于状态x.根据T及E的不同,随机过程可以分成不同的类：依照状态空间可分为连续状态和离散状态;依照参数集可分为离散参数过程和连续参数过程.举例如下.
例6.1.3设{Xk,k=1,2,···,n}是定义在(Ω,F,P)上的n个随机变量,则它是一个随机过程,这里T={1,2,···,n}.
注6.1.2若在例6.1.3中取T={1,2,···},则相应的随机过程一般称为随机变量序列(离散参数过程).对每个n∈T,Xn可以是离散型随机变量,也可以是连续型随机变量或者其他类型的随机变量.例如,一个生物种群由于繁殖而产生下一代,若令Xn表示第n代生物体的个数,取非负整数值(状态空间离散),则{Xn,n=1,2,···}为随机变量序列.
例6.1.4假设一个电话交换台迟早会接到用户的呼叫,用X(t)表示时间间隔[0,t]内交换台接到的呼叫次数,则它是一随机变量,{X(t),t≥0}是一随机过程.
例6.1.5在金融市场中,设S(t),t≥0表示某种证券在t时刻的价格,则{S(t),t≥0}是一随机过程.
例6.1.6设随机振幅信号为X(t)=V sinω0t,其中ω0＞0为常数,V～N(0,1),t∈(-∞,+∞),则{X(t)}是一随机过程.
例6.1.7考虑X(t)=a cos(ω0t+Θ),t∈(-∞,+∞),其中a,ω0是正常数,Θ是在[0,2π]上服从均匀分布的随机变量.显然,对于每个取定的t=t1,X(t)=a cos(ω0t1+Θ)是一随机变量,因而{X(t)}是一随机过程,通常称它为随机相位波.在(0,2π)内随机取一个数θ,相应地,可得到该随机过程的一个样本函数x(t)=a cos(ω0t+θ),t∈(-∞,∞).
随机过程的理论产生于20世纪初,是由于物理学、生物学、管理科学等方面的需要而逐步发展起来的,反过来,它又推动了这些领域的发展（参考文献[2]）,其在信息论、可靠性理论、决策论方面以及金融、保险、股市分析等领域有着许多重要应用.
