6.1.3　随机过程的数字特征

虽然随机过程的有限维分布函数族能完整地刻画其统计特性,在理论分析中起着重要的作用,但是人们在实际中确定一个过程的有限维分布函数族是比较困难的,有时甚至是不可能的.因此,如同研究随机变量一样,人们转去研究它们的数字特征.但随机过程的数字特征不再是确定的数,而是确定的时间的函数.

定义6.1.3设{X(t),t∈T}为(Ω,F,P)上的随机过程,且对任意t∈T,E[X2(t)]＜+∞,定义{X(t)}的下列数字特征：

(1)对称性：RX(s,t)=RX(t,s);

(2)非负定性：对任意的正整数n,任意的tj∈T(j=1,···,n)以及任意的实函数θ(t),t∈T,有

注6.1.3(1)如果对任意的t∈T,E[X2(t)]＜+∞(满足该条件的过程称为二阶矩过程),那么由Cauchy-Schwarz不等式,有

即对任意的s,t∈T,E[X(t)]存在,E[X(s)X(t)]也存在.因此,以上定义的数字特征都是存在的.

(2)一般来说,E[X(t)]和E[X2(t)]是依赖于t的函数,E[X(s)X(t)]是依赖于s,t的二元函数.后面我们将要讨论的平稳过程的自相关函数是一元函数.

(3)μX(t)表示{X(t)}在各个时刻取值的集中位置,(t)或σX(t)表示{X(t)}在各个时刻的取值关于μX(t)的平均偏离程度.RX(s,t)和CX(s,t)表示{X(t)}在两个不同时刻取值的统计依赖关系.

例6.1.8设A,B是两个相互独立的随机变量,且A～N(0,1),B～U(1,2),试求随机过程X(t)=At+B,t∈T的均值函数和自相关函数.

解因为A～N(0,1),所以E(A)=0,E(A2)=1;因为B～U(1,2),所以E(B)=1,E(B2)=3;又因为A,B独立,所以E(AB)=E(A)E(B)=0.因此,X(t)的均值函数和自相关函数分别为

(https://www.daowen.com)

和

例6.1.9求随机相位波

的均值函数、方差函数、相关函数.

解由于Θ的概率密度为

因此,其均值函数为