6.1.2　随机过程的概率分布

6.1.2　随机过程的概率分布

随机过程是一族随机变量,对于一维或者多维随机变量来说,掌握其分布函数就能完全了解随机变量的统计特性.类似地,对于随机过程{X(t),t∈T},为了描述它的统计特性,需要知道对于每个t∈T,随机变量X(t)的分布函数以及它们在任意有限个时间点的联合分布.这些联合分布不再是有限多个,而是一族.

记

称F(x,t)为随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数.类似于随机变量,若存在二元函数f(x,t)使得

则称f(x,t)为随机过程{X(t),t∈T}的一维概率密度.

我们称

为{X(t),t∈T}的一维分布函数族.

一维分布函数描述了随机过程在任一给定时刻的统计特性.为了描述随机过程在不同时刻的状态之间的统计联系,一般可对任意n(n=2,3,···)个不同时刻t1,t2,···,tn引入n维随机变量(X(t1),X(t2),···,X(tn)),它的分布函数记为

我们称其为随机过程{X(t),t∈T}的n维分布函数.若存在函数f(x1,x2,···,xn;t1,t2,···,tn)使得

则称f(x1,x2,···,xn;t1,t2,···,tn)为随机过程{X(t),t∈T}的n维概率密度.(https://www.daowen.com)

对于固定的n,我们称

为随机过程{X(t),t∈T}的n维分布函数族.

随机过程一维分布、二维分布、···、n维分布等的全体

称为随机过程{X(t),t∈T}的有限维分布函数族.知道了随机过程的有限维分布函数族,便知道了这一随机过程中任意有限个随机变量的联合分布,也就掌握了这些随机变量之间的相互依赖关系.

有限维分布函数族具有下列特性.

(1)对称性：对1,2,···,n的任一排列j1,j2,···,jn,均有

(2)相容性：对于m＜n,有

一个自然的问题是：一个随机过程的有限维分布函数族是否能完全反映该过程的统计特性？下面的Kolmogorov存在定理表明,随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述.

定理6.1.1给定参数集T及满足对称性和相容性的有限维分布函数族

则必存在概率空间(Ω,F,P)及定义在其上的随机过程{X(t),t∈T},使F恰好是{X(t),t∈T}的有限维分布函数族.

Kolmogorov定理是我们研究随机过程理论的基本定理,由于证明比较复杂（见文献[14]第6页）,故从略.由此定理可知,研究一个具有相容性和对称性的有限维分布函数族,就相当于研究随机过程.