6.1.4　二维随机过程的分布函数和数字特征

6.1.4　二维随机过程的分布函数和数字特征

在实际问题中,有时我们必须同时考虑两个或两个以上随机过程及它们之间的统计关系,例如,一个线性系统的输入信号和输入噪声可能都是随机过程,这时输出也是随机过程,我们需要研究输入和输出之间的统计关系.因此,我们除了要研究每个随机过程各自的统计特性之外,还要研究各个随机过程之间的联合特征.

定义6.1.4设X(t),Y(t)是定义在同一概率空间(Ω,F,P)上且具有同一参数集T的随机过程,若对于任意的t∈T,(X(t),Y(t))是一个二维随机变量,则称{(X(t),Y(t)),t∈T}为二维随机过程.

二维随机过程的有限维分布函数的定义如下.

定义6.1.6若{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}是两个二阶矩过程,则称

为{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}的互相关函数;称

为{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}的互协方差函数.

若对于任意s,t∈T,RXY(s,t)=0,则称{X(t)}与{Y(t)}正交.

若对于任意s,t∈T,有CXY(s,t)=0或RXY(s,t)=μX(s)μY(t),则称{X(t)}与{Y(t)}不相关.

为了便于理解,请看下面的例子.(https://www.daowen.com)

例6.1.11设U,V是两个相互独立的且数学期望为0、方差为σ2的随机变量.又设{X(t)}和{Y(t)}分别为

求RXY(s,t).

解

例6.1.12设{X(t)},{Y(t)},{Z(t)}为3个参数集均为T、两两不相关的随机过程,且

求W(t)=X(t)+Y(t)+Z(t)的自相关函数RW(s,t).

解由μX(t)=μY(t)=μZ(t)=0,且3个过程两两不相关得

因此,