6.2.1　平稳过程

6.2.1　平稳过程

有一类重要的随机过程,它处于某种概率平衡状态,其主要性质只与变量X(t)之间的时间间隔有关,而与我们考查的起始点无关,这类过程叫作平稳过程.严格地说,如果对任意的正整数n,任意的t1,t2,···,tn∈T和任意的h,当t1+h,t2+h,···,tn+h∈T时,n维随机变量

有相同的分布函数,即它的有限维分布不随时间的推移而改变,则称随机过程{X(t),t∈T}为严(强、狭义)平稳过程.

若参数集T是离散的,则定义中的h只能取整数,此时称严平稳过程{Xn}为严平稳随机序列或严平稳时间序列.

注6.2.1一个工作在稳定状态下的接收机的输出噪声、在工程材料中以杂质作为位置的函数、飞机在高空飞行时的随机波动均可被看作严平稳过程.

严平稳过程的数字特征有很好的性质.

定理6.2.1设{X(t),t∈T}既是严平稳过程,又是二阶矩过程,则有

即μX(t),t∈T为常数.

(2)∀s1,t1,s2,t2∈T,满足s1-t1=s2-t2,取h=s2-s1,有s2=s1+h,t2=t1+h,则(X(s1),X(t1))与(X(s2),X(t2))同二维分布,因而

即RX(s,t)只依赖于s-t,而与s,t的具体取值无关.

证毕

事实上,定理6.2.1所证明的严平稳过程的性质是:若严平稳过程的一、二阶矩存在,则其不随时间的推移而改变.

在定义严平稳过程时,用到了随机过程X(t)的任意有限多个随机变量的联合分布,这给问题的讨论带来了很大困难,所以人们转去研究过程的一、二阶矩.下面引入宽(弱、广义)平稳过程的概念.

如果二阶矩过程{X(t),t∈T}满足:(https://www.daowen.com)

(1)E[X(t)]=μX为常数,t∈T;

例6.1.9就是宽平稳过程.一般来说,宽平稳过程不一定是严平稳过程.反过来,严平稳过程一般也未必是宽平稳过程,因为它的二阶矩不一定存在.

注6.2.2当T为离散参数集时,称{Xn}为宽平稳随机序列或宽平稳时间序列.

例6.2.1设状态连续、时间离散的随机过程为

其中α为随机变量且α～U(0,1),试证{Xn}为宽平稳序列.

解{Xn}显然是二阶矩过程.又

只依赖于m,所以{Xn}为宽平稳序列.

例6.2.2设随机过程

其中Y是非零随机变量,E(Y 2)＜+∞,试讨论{X(t)}的平稳性.

解μX(t)=E[X(t)]=E(tY)=tE(Y).

当E(Y)／=0时,μX(t)与t有关,则X(t)非平稳.

当E(Y)=0时,μX(t)为常数,此时RX(t+τ,t)=E[(t+τ)Y(tY)]=t(t+τ)E(Y 2),若E(Y 2)=D(Y)=0,则有P{Y=0}=1,这与假设矛盾,因而R(t,t+τ)总与t有关,故{X(t)}非平稳.

第8章将对宽平稳过程进行进一步的讨论.