6.2.2　独立增量过程

6.2.2　独立增量过程

为了确定起见,本节只讨论参数集为T=[0,+∞)的随机过程.虽然变量X(t)之间常常不是独立的,但人们发现许多随机过程的增量却是相互独立的,我们称之为独立增量过程.

定义6.2.1设{X(t),t≥0}为随机过程,如果对任意的正整数n≥2,任意的0≤t0＜t1＜t2＜···＜tn,随机变量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1),···,X(tn)-X(tn-1)相互独立,则称{X(t)}为独立增量过程,又称为可加过程.设{X(t)}是独立增量过程,如果对任意的0≤s＜t,增量X(t)-X(s)的分布只与t-s有关,而与s,t的个别取值无关,则称{X(t)}为齐次（平稳）独立增量过程.

显然,{X(t),t≥0}为独立增量过程的充要条件是对任一t0≥0,{X(t)-X(t0),t≥0}为独立增量过程.特别地,取t0=0,并令Y(t)=X(t)-X(0),t≥0,则{X(t),t≥0}为独立增量过程的充要条件是{Y(t),t≥0}为独立增量过程.因此,对于独立增量过程{X(t),t≥0},一般假定X(0)=0.

设{X(t),t≥0}为独立增量过程,若对任意的t,t+τ≥0,增量X(t+τ)-X(t)的概率分布只依赖于τ而与t无关,则称随机过程{X(t)}为齐次的或时齐的,其增量所服从的分布与时间起点无关.若时间间隔τ相同,那么增量服从的分布也相同,此时称此过程具有平稳性.具有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程.

下面我们来计算独立增量过程的自协方差函数.

定理6.2.2设{X(t),t≥0}是独立增量过程,且X(0)=0,则

证令

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证毕

泊松过程和维纳过程是两类重要的平稳独立增量过程,这里先简单介绍一下它们的定义和数字特征.

定义6.2.2设随机过程{N(t),t≥0}是取非负整数值的独立增量过程,且对任意的0≤s＜t,N(t)-N(s)～π(λ(t-s)),N(0)=0,则称{N(t)}是强度为λ的泊松过程,其中λ＞0为常数.

由定义6.2.2知,泊松过程的均值函数、协方差函数和自相关函数分别为

为便于运算,将min(s,t)表示为

定义6.2.3设随机过程{W(t),t≥0}是取实数值的独立增量过程,且对任意的0≤s＜t,W(t)-W(s)～N(0,σ2(t-s)),W(0)=0,则称{W(t)}是参数为σ2的维纳过程,其中σ＞0为常数.

由定义6.2.3知,维纳过程的均值函数、自相关函数分别为

在第6.3节将重点讨论维纳过程,在第7章将重点讨论泊松过程.