6.2.3　高斯(正态)过程

6.2.3　高斯(正态)过程

定义6.2.4设{X(t),t∈T}为Ω上的随机过程,如果对任意正整数n,任意t1,t2,···,tn∈T(当i／=j时,ti／=tj),X(t1),X(t2),···,X(tn)的联合分布是n维正态分布,则称{X(t)}为高斯过程或正态过程.

不难知道,n维随机变量X=(X(t1),X(t2),···,X(tn))的概率密度为

其中x=(x1,···,xn);a=(E(X(t1)),E(X(t2)),···,E(X(tn)));

为X的协方差矩阵,其中bij=E{[Xti-E(Xti)][Xtj-E(Xtj)]},i,j=1,···,n.

可见,高斯过程的n维概率分布仅取决于它的一、二阶矩函数.记高斯过程{X(t)}的均值函数为μX(t),自相关函数为RX(s,t),自协方差函数为CX(s,t).一般地,取T=[0,+∞)或(-∞,+∞).下面研究高斯过程的性质.

性质1高斯过程{X(t)}的全部统计特性由它的均值函数和自协方差函数(或自相关函数)完全确定.

证对任意的正整数n以及任意的t1,t2,···,tn∈T,n维正态随机变量(X(t1),X(t2),···,X(tn))的分布由其相应的均值

和协方差矩阵

完全确定,因而均值函数和自协方差函数确定了{X(t),t∈T}的有限维分布,也就确定了它的全部统计特性.

证毕

特别地,若μX(t)是与t无关的常数,相关函数RX(t,t+τ)只取决于τ的值,则称高斯过程X(t)为宽平稳高斯过程,简称平稳高斯过程.类似地,如果高斯过程也是严平稳的,则称之为严平稳高斯过程.实际上,下面我们将证明对于高斯过程,它的宽平稳性和严平稳性是等价的.

性质2设{X(t),t∈T}为高斯过程,则{X(t)}是严平稳过程的充要条件为它是宽平稳过程.

证因为高斯过程是二阶矩过程,故由定理6.2.1知,若{X(t)}是严平稳的,则它必是宽平稳的.

反之,若{X(t)}是宽平稳过程,即μX(t)=μX(常数),RX(t,t+τ)只与τ有关,则对任意的正整数n,任意的t1,t2,···,tn∈T以及任意的h,只要t1+h,t2+h,···,tn+h∈T,便有

于是,n维正态随机变量(X(t1),X(t2),···,X(tn))和(X(t1+h),X(t2+h),···,X(tn+h))有相同的均值和协方差矩阵,而多维正态分布由其相应随机变量的均值和协方差矩阵完全确定,因而它们有相同的n维正态分布,因此,{X(t)}也是严平稳过程.

证毕

性质3{X(t),t∈T}为高斯过程的充要条件是它的任意有限多个随机变量的任意线性组合是(一维)正态随机变量.

证略.

性质4高斯随机过程{X(t),t∈T}与确定信号{S(t),t∈T}之和仍为高斯过程.(https://www.daowen.com)

由性质3很容易证明性质4,此处从略.

性质4在通信、雷达等系统中常常遇到,如噪声与信号叠加在一起的合成随机信号问题.需要指出的是,高斯过程与一随机过程相加得到的合成信号不一定还是高斯过程.

例6.2.3证明：维纳过程{W(t),t≥0}是高斯过程.

证由于对任意的正整数n,任意的0≤t1＜t2＜···＜tn以及任意的实数a1,a2,···,an,有

证毕

例6.2.4设随机过程

其中ω0＞0为常数,U和V是两个相互独立的正态随机变量且E(U)=E(V)=0,E(U2)=E(V 2)=σ2,试证{X(t)}为高斯过程,并求其一维、二维概率密度.

解由高斯过程的性质3,为证{X(t)}为高斯过程,只需证明{X(t)}的任意有限多个随机变量的任意线性组合是一维正态随机变量.实际上,对任意的正整数n,任意的0≤t1＜t2＜···＜tn以及任意的实数a1,a2,···,an,记

因为W是两个相互独立的正态随机变量的线性组合,所以它是正态随机变量.

对于取定的t≥0,X(t)是正态随机变量,且

因而{X(t)}的一维概率密度为

对于取定的0≤t1＜t2,

因而二维正态随机变量(X(t1),X(t2))的均值和协方差矩阵分别为

于是,它的二维概率密度为

其中x=(x1,x2).