6.3 布朗运动和维纳过程
布朗运动是产生维纳过程的实际背景.英国植物学家布朗（Brown）在1827年发现悬浮在液体中的小颗粒会做一种非常不规则的运动,我们称之为布朗运动.这种运动的数学解释是爱因斯坦（Einstein）在1905年首次从物理定律中导出的.直到1918年,维纳（Wiener）才在他的博士论文及以后的一系列论文中得到了Brown运动精确的数学公式.
布朗运动产生的原因在于小颗粒受到大量液体中分子的碰撞.小颗粒每秒钟受碰撞的次数多达1021次,每次碰撞的影响可以忽略不计,但大量分子碰撞的迭加产生了可观测的运动.布朗运动的数学定义可以从不同的角度给出,这里我们选取其中一个角度,借助于中心极限定理,用简单随机游动逼近Brown运动.
设W(t)表示在t时刻小颗粒所在的位置,△t和△x分别表示小颗粒转移时间间隔和步长,Wk表示在时刻k△t时转移的方向,每次移动△x,则
由中心极限定理可以得到
此外,由于在不相交时间间隔的随机移动是独立的,因此我们可以知道布朗运动有独立增量.又由于随机游动位置变化的分布在任何一段时间内只依赖于时间区间的长度,故布朗运动应该有平稳增量.综上所述,可有如下定义.
定义6.3.1设随机过程{W(t),t≥0}是取实数值的独立增量过程,且对任意的0≤s＜t,W(t)-W(s)～N(0,σ2(t-s)),W(0)=0,则称{W(t)}是参数为σ2的维纳过程,其中σ＞0为常数.若σ=1,则称{W(t)}为标准维纳过程.
由定义6.3.1知,维纳过程的均值函数、自相关函数分别为
维纳过程具有如下性质.
1.概率特性
由定义6.3.1,如果s≥0,t≥0,则W(t+s)-W(s)与时刻v,0≤v＜s的位置W(v)相互独立,因此,
上面第二个等号由维纳过程的独立增量性得到,最后一个等号由条件概率的定义式和独立增量性联合得到.由此可知,在给定现在状态W(s)的条件下,过去状态W(v),0≤v＜s与将来状态W(t+s),t＞0独立,维纳过程是一个马氏过程.
2.刻度不变性和平移不变性
{W(t),t≥0}经下面几种变换所得的新过程Wi(t)(i=1,2,3,4)均为维纳过程:
(3)对于h＞0,W3(t)=W(t+h)-W(h),t≥0;
(4)W4(t)=-W(t),t≥0.
(2)的证明较长,可参考文献[9]第183页,(3)和(4)的证明留作习题,这里只证{W1(t)}是维纳过程.
可见W1(t)-W1(s)～N(0,σ2(t-s)).显然,W1(0)=0.综上所述,{W1(t),t≥0}是维纳过程.
例6.3.1设{W(t),t≥0}为维纳过程,求下列随机过程的自相关函数：
(1)X(t)=W(t+l)-W(t),t≥0(l＞0为常数);
(2)Y(t)=e-βtW(e2βt),-∞＜t＜+∞(β＞0为常数).
解(1)X(t)的自相关函数为
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其中s,t≥0.
(2)Y(t)的自相关函数为
其中s,t≥0.
由维纳过程,我们可以另外定义一些非常重要的且具有实际应用的过程.
(1)Brown桥(Brown Bridge)过程
定义6.3.2设{W(t),t≥0}为标准维纳过程,令
则称随机过程B={B(t):0≤t≤1}为Brown桥过程.
由于维纳过程是Gauss过程,故Brown桥过程也是Gauss过程,其n维分布由均值函数和协方差函数完全确定.容易算得,对于任意的s,t,0≤s≤t≤1,E[B(t)]=0,
此外,由Brown桥的定义知,B(0)=0,B(1)=0,即该运动的两头都是固定的,就像桥一样,这就是其名字的由来.Brown桥在研究经验分布函数中起着十分重要的作用.
(2)带有漂移的Brown运动
带有漂移的Brown运动的定义如下：
其中{W(t),t≥0}是标准维纳过程.它是一个正态过程,其均值函数和协方差函数分别为
带有漂移的Brown运动经过变换Y(t)=X(t)-μt可转化成普通的维纳过程.
1900年,劳伦斯·巴施里耶(Louis Bachelier)发现风险资产（股票指数、汇率等）的价格可以用Brown运动来描述,从此开拓了应用随机过程的新领域.然而,Brown运动作为一种正态过程,是可以取负值的,但这并不符合价格过程的实际性质.1973年,费舍尔·布莱克(Fischer Black)、米伦·舒尔茨(Myron Scholes)和罗伯特·默顿(Robert Merton)发表了著名的论文,为风险资产的价格建立了另外一种随机过程的模型——几何Brown运动模型.
(3)几何Brown运动
定义6.3.3设{W(t),t≥0}是标准维纳过程,称
为几何Brown运动.可以看出,几何Brown运动是带有漂移的Brown运动的指数形式,但是它不是一个正态过程.
当s≤t时,由标准维纳过程的独立平稳增量性,可知W(t)-W(s)和W(s)都是相互独立的,且W(t)-W(s)与W(t-s)同分布,因此,协方差函数为
当t=s时,几何Brown运动的方差函数为
