8.2.4 均方积分
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程,相关函数为RX(s,t),f(t)是一实的或复的普通函数,[a,b]⊂T,在均方收敛的意义下,定义下面的积分：
定义8.2.5设{X(t),t∈T}为二阶矩过程,[a,b]⊂T,f(t)是一复值函数,令
如果当n→∞(|△|→0)时,I(△)的均方极限存在(为H中的元素),则称此极限为f(t)X(t)在[a,b]上的均方积分,记作
并称f(t)X(t)在[a,b]上均方可积.
定理8.2.7设{X(t),t∈T}为二阶矩过程,相关函数为RX(s,t),f(t)为一复值函数,[a,b]⊂T.如果X(t)在[a,b]上均方连续,且f(t)在[a,b]上连续,则f(t)X(t)在[a,b]上均方可积,且
存在.
存在.令
为[a,b]的任意二分割,
由均方收敛准则知,当n→∞,|△|→0时,I(△)的均方极限存在,即f(t)X(t)在[a,b]上均方可积,且由均方极限的性质,有
下面给出均方积分的一些性质.
定理8.2.8如果f(t),g(t)在[a,b]上连续,X(t)在[a,b]上均方连续,则
证毕
即有
证毕(https://www.daowen.com)
关于平稳过程,则有下面的定理,证明略.
定理8.2.9设平稳过程X(t)在[a,b]上均方连续,f(t),g(t)为[a,b]上的复值连续函数,则
定义8.2.6设对任一t∈[a,b],{X(t)}在[a,t]上均方连续,令
称{Y(t),a≤t≤b}为{X(t),a≤t≤b}在[a,b]上的均方不定积分.
定理8.2.10设{Y(t),a≤t≤b}是{X(t),a≤t≤b}在[a,b]上的不定积分,则{Y(t),a≤t≤b}在[a,b]上均方连续,且
证先证Y(t)在[a,b]上均方连续,对于△t＞0（当△t＜0时,证明类似）,有
其中
当t取定时,s∈[t,t+△t],||X(s)-X(t)||2是s的连续函数,故对任意ϵ＞0,存在δ＞0,使得当|△t|＜δ时,||X(s)-X(t)||2＜ϵ,于是
因而
对于△t→0-,类似可证上式成立,所以（1）成立.
（2）和（3）可由定理8.2.7推得.
证毕
推论8.2.3若X(t)均方可微,X′(t)均方连续,则
当t=a时,X(a)+X=0,X=-X(a),因而
证毕
