8.3.1　遍历性的定义

8.3.1　遍历性的定义

定义8.3.1设{X(t),-∞＜t＜+∞}为均方连续的平稳过程,如果它沿整个时间段上的平均值,即时间平均值

存在,而且＜X(t)＞=μX依概率1相等,则称该过程关于均值具有均方遍历性.

定义8.3.2设{X(t),-∞＜t＜+∞}为均方连续的平稳过程,且对于固定的τ,X(t)X(t+τ)也是均方连续的平稳随机过程,若

存在,而且＜X(t)X(t+τ)＞=RX(τ)依概率1相等,则称该过程关于自相关函数具有均方遍历性.

定义8.3.3如果{X(t),-∞＜t＜+∞}为均方连续的平稳过程,且关于均值和自相关函数都具有均方遍历性,则称该过程具有遍历性,或称该过程为遍历过程.

随机过程的遍历性具有重要的实际意义.由随机过程的积分的概念知,对一般随机过程而言,随机过程的时间平均是一个随机变量.可是,对遍历过程来说,由上述定义求时间平均,得到的结果趋于一个非随机的确定量,这就表明：遍历过程诸样本函数的时间平均,实际上可以认为是相同的,因此,遍历过程的时间平均就可以由它的任一样本函数的时间平均来表示.这样对于遍历过程,有(https://www.daowen.com)

其中x(t),-∞＜t＜+∞为{X(t)}的一个样本函数.实际上,这也正是引入遍历性概念的重要目的.例如:用一般方法测量接收机的噪声,需要先使用数量相当多的、相同的接收机在同一条件下同时进行测量和记录,再用统计方法算出所需的数字特征;而利用噪声过程的遍历性,则只需使用一部接收机在不变的条件下对其输出噪声进行长时间的记录,然后用求时间平均的方法即可求一些重要的数字特征.

例8.3.1讨论随机相位正弦波X(t)=cos(ω0t+Θ)的均方遍历性.解

可见,{X(t)}关于均值具有均方遍历性.

即{X(t)}关于自相关函数具有均方遍历性,从而{X(t)}为遍历过程.