9.3.2　不可分闭集

9.3.2　不可分闭集

下面讨论质点在不可分闭集中是如何运动的,对于不可分马氏链,有如下分解定理.

定理9.3.2设不可分马氏链{Xn,n≥0}的状态空间为C、周期为d,则C可唯一地分解成互不相交的子集之并,即

使得若自Gr的某一状态出发,下一步必转移到Gr+1(Gd=G0)中.

证任取一状态i∈C,对r=0,1,2,···,d-1,令

由上可知,d|(r+h)且d|(s+h),因而d|(r-s),但0≤r,s≤d-1,故只有r=s,即Gr=Gs.

下面证明从某一j∈Gr出发,下一步必到达Gr+1,这只需证明

由于

证毕(https://www.daowen.com)

定理9.3.3在定理9.3.2的假设下,则有

可见j对{Xnd}也是常返的.

证毕

例9.3.2设不可分马氏链的状态空间为C={1,2,3,4,5,6},转移矩阵为

(1)求各状态的周期d;

(3)验证定理9.3.3的结论.

解(1)由状态转移图可知,链的周期d=4.

(2)取定状态i=1,

则C={1,4}∪{6}∪{5}∪{2,3}.

(3)容易算得

容易看到,对于P(4),{1,4},{2,3},{5},{6}分别构成一闭集,且它们的周期都是1.