9.3.4　不可分链的状态空间

容易得到下面的结论.

定理9.3.6不可分链或没有非常返状态,或没有常返状态.有限不可分链只有正常返状态.

我们先来看一个无限不可分马氏链的例子.

例9.3.4设齐次马氏链的状态空间为E={1,2,···},转移概率矩阵为

求：(1)矩阵(fij);(2)μj;(3)各状态的周期,并讨论它的状态分类和闭集.

可见状态1是常返状态.显然,任两状态互通,由定理9.2.10和9.2.11知,fij=1,i,j=1,2,···,因此矩阵(fij)为

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(2)容易算得

可见,状态1是零常返状态,再由定理9.2.11知,μj=+∞,j=1,2,···.

(3)显然d(1)=1,即状态1是非周期的,由定理9.2.11知,所有状态非周期.所有状态零常返.链不可分,只有E是闭集,无其他闭集.

例9.3.4中,首达概率易于计算,状态的常返性易于判别,但对于一般的无限不可分马氏链,其状态的常返性判别可借助于如下定理.

定理9.3.7设马氏链{Xn,n≥0}不可分,状态空间为E={0,1,2,···},则它是常返链的充要条件是方程组

没有非零的有界解.

定理9.3.7的证明较长,可参考文献[2]第207页.这里要注意的是,马氏链的状态空间为E={0,1,2,···}.定理9.3.7的应用见本章例9.4.3.