10.2 柯尔莫哥洛夫向前方程和向后方程
对于时间离散的马氏链,多步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵求出,而对于时间连续的马氏链,转移概率pij(t)的求解一般较为复杂.下面我们先讨论pij(t)在t=0处的连续性、可微性等,然后建立pij(t)所满足的微分方程.
对于转移函数,一般还假定它满足以下条件：
此条件称为连续性(或标准性)条件,本章假定此条件成立.连续性条件说明,系统刚进入某状态不可能立即跳跃到另一状态,这正好说明一个物理系统在有限时间内发生无限多次跳跃,从而消耗无穷多的能量,是不可能的.
定理10.2.1若过程满足连续性条件,则对任意固定的i,j∈E,pij(t)在[0,∞)上一致连续.
证由C-K方程,对任意h＞0,
由此可得
因此,
类似地,当h＜0(|h|＜t)时,有
证毕
定理10.2.2若过程满足连续性条件,则对任意固定的i,j∈E,i／=j,极限
存在且有限.
以下先证对任意t,h＞0,只要h≤t≤δ,就有
即jpik(mh)表示自i出发,在时刻mh处于状态k,但在时刻h,2h,···,(m-1)h不处于j的概率.于是,当h≤t≤δ时,我们有
接下来,由
式(10.2.2)以及式(10.2.5)得
从而,由式(10.2.2),式(10.2.5)以及式(10.2.6)得
此即式(10.2.3).
以h除式(10.2.3)的两边,得
当h→0+时,nh→t,故
令t→0+,得
再令ε→0+,得证极限(https://www.daowen.com)
存在,且由式(10.2.7)知qij＜∞.
证毕
定理10.2.3若过程满足连续性条件,则对任意的i,极限
存在,但可能等于+∞.
令f(t)=-log pii(t),它是非负、有限的,又pii(s+t)≥pii(s)pii(t),故
于是对t＞0,h＞0,取n使得t=nh+ε,0≤ε＜h.由式(10.2.9)得
从而极限
证毕
推论10.2.1若过程满足连续性条件,则
证因为
令t→0+,由Fatou引理得
其中
我们称矩阵Q为{X(t),t≥0}的转移速率矩阵或密度矩阵.在马氏链理论中,矩阵Q是一个很重要的量,它可由转移矩阵P(t)在t=0的一个邻域的值所决定.
定理10.2.4有限马氏链的转移概率矩阵满足下列微分方程组：
式(10.2.11)和式(10.2.12)分别称为柯尔莫哥洛夫向后方程(Kolmogorov Backward Equations)和柯尔莫哥洛夫向前方程(Kolmogorov Forward Equations).
证只证式(10.2.11),式(10.2.12)的证明类似.由C-K方程可得,
令h→0+,由定理10.2.2和定理10.2.3即得式(10.2.11)成立.
