2.1.3 相互作用绘景
量子系统往往很难完全孤立，容易受到外界环境等因素的影响，经常会用到相互作用绘景。这时，系统的哈密顿量H可以分解为两部分之和：
其中，
为不显含时间的哈密顿量，它对应的本征基矢可由薛定谔方程给出：
VS可看作系统的相互作用能，通常显含时间，因而往往对系统的行为有特别的效应。引入相互作用绘景的目的是集中地体现相互作用能VS(t)对系统的效应，以便最大程度上由VS(t)决定系统的态矢随时间的演化。
从薛定谔绘景变换到相互作用绘景的方法是引入幺正变换U0(t,t0)，使得
其中，|ΨI(t)〉为相互作用绘景中的态函数。令
显然
把幺正算符U0(t,t0)对时间求导，可知它满足如下方程：
由于不同绘景中的力学量期望值应该一致，所以算符A的期望值为
由此可知，力学量算符在相互作用绘景和薛定谔绘景中的对应关系为
显然，力学量AI(t)是时间的函数。
首先，讨论力学量AI(t)满足的运动方程。将(2.39)式对时间t求导，可得
由于
与时间无关，且
所以
可得
这样，就得到了相互作用绘景中算符AI(t)所遵循的运动方程。依据上式和初始条件，原则上可以求出算符AI(t)的时间行为。
将|ΨS(t)〉=U0(t,t0)|ΨI(t)〉代入上式，可得(https://www.daowen.com)
下面，我们从|ΨI(t)〉满足的薛定谔方程出发，用微扰法求解系统的态函数|ΨI(t)〉。由|ΨS(t)〉=U0(t,t0)|ΨI(t)〉，可知在初始时刻t=t0时，|ΨI(t0)〉=|ΨS(t0)〉。但是，对于不同形式的VI(t)及初始条件|ΨI(t0)〉，大多数情况下难以直接由薛定谔方程求解|ΨI(t)〉。不过，我们可引入一幺正变换U(t,t0)，使得
以表示系统态函数从初始时刻的|ΨI(t0)〉到t时刻的|ΨI(t)〉的变化。把式(2.47)代入前面给出的相互作用绘景的薛定谔方程，并注意到初始值|ΨI(t0)〉是可以任意选取的。于是，幺正变换算符U(t,t0)满足如下方程：
通过求解上述方程，原则上由VI(t)以及初始条件
可以得出U(t,t0)的精确或微扰表达式，从而得出态函数|ΨI(t)〉，并进而由下式给出|ΨS(t)〉：
现在讨论U(t,t0)的微扰近似展开式。对式(2.48)进行积分，并应用初始条件，可得
积分号中U(t1,t0)又可以作为t2的函数，它具有与式(2.51)相同形式的解：
将式(2.52)代入式(2.50)，得
继续运用迭代插入法，可以得到幺正变换算符U(t,t0)的级数展开式为
式(2.54)给出了通过VI(t)确定幺正算符U(t,t0)的表达式。由于相互作用能VI(t)通常远小于H0，所以上述展开式的后一项较前一项小得多，取展开式的前几项，即可相当准确地定出U(t,t0)。再将U(t,t0)代入|ΨS(t)〉=U0(t,t0)|ΨI(t)〉，就可以得到相互作用绘景中t时刻系统态函数的微扰展开式了。
下面考虑一种特殊情况，假设t0时刻系统处于未扰动哈密顿量H0的本征态|i〉，它满足
由于相互作用能V(t)的作用，随着时间的改变系统演化到态|ΨI(t)〉。那么t时刻系统跃迁到H0的另一不同于|i〉的本征态|k〉的概率|〈k|ΨI(t)〉|2为多少呢？显然，此时概率幅可表示为
将U(t,t0)的展开式代入式(2.56)，即得
其中ωki=(Ek－Ei)/¯h为跃迁频率。同样，我们还可以计算高阶近似的概率幅。这样，对相互作用能逐级取近似后，可以得出t时刻系统由初始态|i〉跃迁到本征态|k〉的概率幅。
