4.2.5　相干态的超完备性

相干态集合具有完备性，即满足

其中，为单位算符。

□证明如下：

利用式(4.31)，可以得出

转换成极坐标形式，并利用d2α=dRe(α)dIm(α)=|α|d|α|dθ，可得

等式右边积分等于n!，因此可以得到

式(4.48)得证。这也给出了一种用相干态表示单位算符的方式。■

当然，也可以利用另外一种方式证明相干态的完备性关系。利用算符公式：(https://www.daowen.com)

很显然，满足上述关系的所有算符一定正比于单位算符。因此，我们考虑

那么

因此，可以得到

其中，正比系数很显然是π。

相干态集合是完备的，但任意两个相干态之间不一定正交，因此其具有超完备性（overcomplete)。两个相干态的内积为

因此，两个相干态内积的绝对值平方为

由(4.57)式可以看出，|α〉和|β〉是非正交的。两个相干态的重叠部分由高斯函数给出：差别越大，则重叠越少，越趋于正交。这也意味着，如果谐振子处于相干态|α〉，则处于另一个相干态|β〉的概率也是非零的。