7.2.1　辐射和吸收的爱因斯坦系数

1917年，爱因斯坦提出一个简单的唯象理论，用于讨论辐射场与原子的相互作用。此理论未用到量子理论，只有一些物理上的合理假设。后来，随着量子理论的发展，人们对辐射理论有了更深入的认识。

考虑物质的原子或分子为具有能量E1和E2两个能级（E1＜E2）的二能级原子模型。这里所说的两个能级可以是原子所具有的能级中的任意两个能级，占据两个能级的原子数目分别为N1和N2，称为该能级上的布居。

根据辐射的量子理论，原子在两个能级间跃迁，将辐射或吸收光子，对应的能量改变为

如图7.4所示，原子在两个能级间的跃迁可以有3种不同的方式：自发辐射（spontaneous emission）、吸收（absorption）、受激辐射（stimulated emission）。3种方式分别对应着不同的爱因斯坦系数。

图7.4　二能级原子3个跃迁过程的示意图

(1)自发辐射过程

如果原子在初始时刻处于高能级E2的激发态上，状态不稳定，会以一定概率“自发”地（以后会明白其自发的原因）跃迁至低能级E1上，对应的能量差ΔE必定被释放。当能量以频率为ω0的电磁波形式释放时，这个过程就是自发辐射过程。每种原子由于不同的能级结构，都具有自己的自发辐射特征谱。当然，原子也可以以非辐射的形式从高能级跃迁到低能级，比如能量差ΔE转化为原子的动能或内能。

自发辐射发生的概率用爱因斯坦系数A描述，定义为单位时间内自发辐射的原子占高能级原子数的比率，也可以表示为高能级布居的衰减率(dN2/dt)sp与布居N2的比值，也就是

其中，下标“21”表示从高能级E2到低能级E1的跃迁。式(7.9)中的负号是考虑到原子发生自发辐射的概率应为正值，而原子从高能级跃迁到低能级，高能级布居会随时间减少，因而其关于时间的微分应该是负的。

由式(7.9)可得

式(7.10)说明，处于激发态的原子数目由于自发辐射会随时间呈指数衰减，或者原子处于高能级态的概率是随时间呈指数衰减的。可用A21定义激发态的辐射寿命：τsp=1/A21。在不同的辐射过程中，光学频率范围内的τsp取值在纳秒到毫秒之间。作为有限长寿命τsp的结果，处于高能级态的原子具有一定的能级宽度，表示为

其中，Γ（单位同角频率）为能级E2的自然宽度，故自发辐射谱线具有一定的自然宽度。

同样，原子的非辐射衰减也可以表示为

其中，τnr用来表示原子的非辐射衰减的寿命。需要注意的是，对于自发辐射，A21（或τsp）的数值仅仅依赖于所考虑的确定能级之间的跃迁过程；而非辐射衰减的寿命τnr不仅依赖于跃迁，还与原子周围的环境有关。

(2)吸收过程

如果原子在初始时刻处于低能级E1，在二能级系统中，E1相当于原子的基态能级。如果原子没有受到外界激励，则保持在这个能级上。如果一束频率为ω0的电磁波照射到原子上，则原子会有一定概率吸收电磁波的能量而跃迁到高能级E2上，这个过程为吸收过程，对应图7.4(b)所示的跃迁方式。显然，和自发辐射不同，吸收过程不是“自发”的，而是必须有输入电磁波的能量激发。

同样，可以定义爱因斯坦系数B来描述吸收跃迁率，即吸收系数B12：

(https://www.daowen.com)

显然，dN1/dt为由于吸收而发生的由E1到E2的单位时间跃迁率，W(ω0)为电磁场谱能量密度，并且强调了只有角频率为ω0的电磁场才能引起吸收跃迁。

(3)受激辐射过程

辐射场施加到原子上，不但能引起吸收过程，也可能激发原子从高能级向低能级的跃迁过程。如果原子在初始时刻处于高能级E2，有频率为ω0的电磁波施加到原子上，如图7.4(c)所示。由于外加电磁波的频率与原子在两个能级之间的跃迁频率相同，原子在电磁波的驱动下会有一定概率实现从E2到E1的跃迁。在这个过程中，原子跃迁释放的能量E2－E1会以电磁波的形式合并到入射电磁波中，这就是受激辐射。

对于受激辐射过程，受激辐射发生的概率可以表示为

其中，(dN2/dt)st是受激辐射过程中原子从E2到E1的跃迁率，爱因斯坦系数B21为受激辐射率。B21与A一样，具有时间-1的量纲。

在前面的章节中，光采用的都是用经典电磁波的表述。随着量子理论的发展，自发辐射、受激辐射和吸收过程也可以用辐射、吸收光子的方式描述：1○在自发辐射过程中，原子从高能级E2自发跃迁到低能级E1上，并辐射出一个光子；2○在吸收过程中，入射光子被原子吸收，原子从E1跃迁到E2；3○在受激辐射过程中，入射的光子激发原子从E2到E1的跃迁，同时辐射出一个与入射光子状态完全相同的光子。因此，也可以说每个辐射过程产生一个光子，而每个吸收过程湮灭一个光子。

自发辐射和吸收过程都可以有比较直观的半经典解释，而受激辐射则是一种相干的量子力学效应。辐射出的光子与引起辐射的入射光子除了频率一样外，还具有相同的相位、传播方向、偏振状态。可以说，在受激辐射过程中，输入一个光子，可以得到两个状态完全相同的光子，这样的两个光子可再次作用于其他原子，从而获得大量特征完全相同的光子，这便是受激辐射光放大（Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation，LASER），即激光。爱因斯坦在其1917年发表的论文《光与辐射的量子理论中》首次提出受激辐射的概念，大约10年后，物理学家狄拉克首次在实验上证明了受激辐射的存在。

应该指出，比例系数A、B12和B21都是由原子能级的结构和性质所决定的，和外加电磁场的能量密度W(ω)没有关系。此外，3个爱因斯坦系数是相互关联的，如果知道了其中一个系数，也就可以得到另外两个系数。按照爱因斯坦的分析，在上述3种过程之后，高、低能级的原子数N2、N1的变化率可以表示为