9.1 光与原子相互作用的系统哈密顿量
偶极近似下，光场E与单电子原子相互作用系统可用如下哈密顿量描述：
其中，HA和HF分别为自由原子和自由光场的哈密顿量，r为电子的位置矢量。在偶极近似下，整个原子所处的光场是均匀的。
自由光场的哈密顿量HF可以表示成产生算符、湮灭算符的形式：
用跃迁算符表示HA和er：
其中，µij=e〈i|r|j〉为电偶极矩的矩阵元。在偶极近似下，电场算符主要是对应着原子所在位点的电场，如设定原子在原点处，则量子化电场表示为
其中，Ek=(¯hωk/2ε0V)1/2。为了简单，我们采用了线偏振基矢，并且令极化单位矢量为实数。
现在，把前面得出的各个表达式代入式(9.1)，得到
其中
式(9.8)中省略了光场哈密顿量中的零点能。为了简化计算，后面都设定µij为实数。
现在处理二能级原子的情况。由µ11=µ22=0，µ12=µ21，可以得到
则系统哈密顿量可以表示为
其中，常数能量项(E1+E2)/2只引起整体相位，可以忽略掉。将算符用左矢、右矢表示出来：(https://www.daowen.com)
原子跃迁算符满足的关系式：
利用二能级原子与自旋1/2粒子在磁场中的相似性质，用泡利自旋算符代替原子能级的费米算符是比较方便的。泡利算符为
定义上升算符与下降算符：
其中，σ-表示处于高能级态的原子跃迁到低能级态，而σ+表示从低能级态跃迁到高能级态。可以证明σ+、σ-和σz满足自旋1/2的Pauli矩阵代数式：
最后，系统哈密顿量可以表示成如下形式：
系统哈密顿量的相互作用项由4部分组成：
在上述4个部分对应的过程中，前两个过程能量是守恒的，后两个过程系统能量不守恒。消去这两个能量不守恒过程对应着旋波近似情况。简单说明如下。
□在海森堡绘景中,产生算符、湮灭算符以及自旋翻转算符都包含时间因子：
这些算符的乘积为
可以看到，这两个算符在近共振时进行缓慢演化。与之对反，另外一组算符
则按照频率ω+ω0快速演化。因此，在几个光学周期的时间尺度内，式(9.22)和式(9.23)描述的两个过程平均贡献趋于零,可以忽略不计，这与前面旋波近似的物理和数学意义一致。■
最后，得到系统哈密顿量的简化形式：
相互作用的二能级原子与多模场系统哈密顿量，是量子光学领域中许多计算的出发点。
