9.2 二能级原子与单模场的相互作用
由式(9.24)可以得到频率为ω的单模场与一个二能级原子相互作用的系统哈密顿量：
右边两项分别表示为
此处，已经去掉表示场模式的下标k以及关于模式的求和，且已包含偶极近似和旋波近似。该简单形式的原子-场相互作用又称为Jaynes-Cummings模型，简称J-C模型（详见10.4节）。形式简单的J-C模型为量子光学提供了一个非常重要的可解范例。
H0的本征态可记为|i,n〉。其中，|i〉表示原子处于二能级中的高能级态（|2〉）或低能级态（|1〉），|n〉表示光场中包含n个光子。满足本征方程：
相互作用哈密顿量H1只将原子-场系统中对应于n的量子态|2,n〉和|1,n+1〉耦合起来，而|1,n〉和|2,n+1〉等量子态则不能耦合。因此，量子态|2,n〉和|1,n+1〉可以作为正交基矢，构成一个在HI作用下保持不变的二维子空间（对应于量子数n）。
一般情况下，系统哈密顿量H的薛定谔方程难以精确求解，往往会利用相互作用项H1的弱耦合微扰性质进行近似求解。为此，将高能的H0导致的快速演化与弱耦合H1导致的缓慢演化分开，并在相互作用绘景中处理相互作用问题会非常方便。相互作用绘景中的哈密顿量表示为
利用关系式
可以得到
从而，相互作用绘景中的哈密顿量表示为
其中，δ=ω0－ω，为二能级原子（固有频率ω0）与光场（ω）之间的失谐。
在相互作用绘景中，系统的性质可以通过求解波函数的运动方程来描述：
在任何时刻，态矢量|ψ(t)〉都可以表示为|2,n〉和|1,n〉的线性叠加：
这里，C2,n和C1,n为相互作用绘景中的慢变概率幅。由于原子与场的相互作用只引起|2,n〉和|1,n+1〉之间的跃迁，因此我们先考虑概率幅C2,n和C1,n+1的演化。很容易解出这两个概率幅的运动方程，即拉比方程：
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这两个相互耦合的方程与第8章中半经典理论得出的式(8.59)类似。由式(9.38)可知，量子态|1,0〉意味着n=－1，因此其不包含在系统的耦合动力学中。
在一定初始条件下，方程的一般解可以表示为
其中
对于系统的初始状态，考虑两种情况：
(1)原子初始状态为|2〉，则C2,n(0)=Cn(0)，C1,n+1(0)=0。这里，Cn(0)表示光场处于|n〉光子态的概率幅。可以得到
(2)原子初始状态为|1〉,则C1,n+1(0)=Cn+1(0)，C2,n(0)=0。可以得到
可以看到，对于原子与场的J-C相互作用系统，在两种初始条件下原子处于高能级态和低能级态的概率都会出现拉比振荡。且当n=0时，也会出现拉比振荡。
对于原子的状态演化，通常也涉及另一个物理量––反转（inversion)，表示为
其中，ρn(0)为初始时刻光场包含n个光子的概率。显然，与上述两种初始条件下的结果一致，反转函数的结构也显示出原子的拉比振荡特征。有趣的是，当初始态为真空态〔ρn(0)=δn0〕时
即同样会发生拉比振荡，称为真空拉比振荡。
