初等数学

数学通常被视为推理与假设的学问，这赋予了它在官能训练中特殊的地位和价值。在数学教学中，证明的过程是最为重要的，且在此过程中，要指导学生把握每一步骤之间必要的逻辑关联。这一观点在当下的数学教学领域流行甚广，而其中包含的谬误正在将学生引向对数学基本概念的误解，这不仅仅是对数学的教育功能的误解，更是对数学自身本质的曲解。事实上究其根源，所有数学的分支学科都属归纳的学问。正因为归纳法在这些学科当中已被运用得迅速而彻底，我们才得到了一个可以应用在推理演绎当中的广阔的理论体系。数学在教育中的地位取决于我们对它的理解。儿童的学习、成长复演着种族发展的历史，因此在对数和数量的学习中，儿童首先应以直觉的而不是逻辑的态度去面对。“证明”在数学科学的发展史上出现较晚，因而应当晚些出现在儿童的数学学习中。

根据我们作为成年人或数学家的体会，“数”是一个复杂的概念，以幼儿的头脑去理解“数”的起源与地位并非易事，它是时空观念的根源。从时间角度看，数学意味着不断地集中注意去进行区分、辨别，并包含着以此为基础的对整数有节律分组的倾向。几乎同样的过程也发生在空间当中。自然的区分和归类是通向对几何和空间操控兴趣的起点。因此，我们所有的算术和几何概念都是以最原始的连续性理念为基础的，而这一概念的产生始于最简单的注意行为。这种注意最终发展为计数，这在儿童对数字形成清晰观念和意识之前就已出现。在这种原始的连续性中，儿童学习将名称与物体关联起来，但最初他们计数并非根据眼前事物的具体数量，他们对于数字序列的单纯兴趣早于计数能力的发展。这些形成数字序列意识的原始行为，是数学学习的基础。因此，算术并非起源于处理数字和数量的理性过程，而是始于自发、惯常的行为之中。

目前学校中算术教学的关键点就在于利用人的数学潜质，遵循遗传学秩序的要求，提升人对于数字系列的操控能力。因此我们认为，此前数学中的某些方面在教学中被错误地强调了，且太过急于追求一种知识性的获得和形式化的步骤；书面作业布置过多，且太早让儿童接触大数字的计算。许多实践活动和实物教学方法都不符合心理学的要求。与此相对，数学教学应从最小、最简单的数字开始，不可要求儿童去生硬拆分计算步骤，而应努力激发并指导儿童对于数字的天然热情，使其思维能够灵敏应对各种情况的变化，从而更好地掌控数字。教学应主要以心算和口算的方式进行，这样就不会将孩子的思维限制在所见或所接触的实物上。教学活动应利用形象思维来完成，而非运用抽象概念。在一种包含着联系的思维当中，我们可能尚不了解利用儿童对于数字形式的天然兴趣（代表了儿童对于数字与空间关系的最初尝试）究竟能去做些什么。在自然算术领域，儿童对于数字系列的掌控能力有时是惊人的，必须努力开发儿童这方面的潜力，因为这正是未来一切数学活动的基础所在。数学教学的目的是：确保儿童思维敏捷，能在压力环境中集中心智力量专心演算，同时避免疲劳发生。只有在这样的教学中，种族遗传的秩序才得以保存。使用尽可能原始而直观的教学方法，避免教学内容对于儿童而言过于抽象或缺乏意义。在这里，所有算术的较高阶段的内容都已被包含其中，由于小数字的使用，整个演算过程并不显得复杂。在归纳了各种计算模式之后，我们得到了所有的演算过程：加、减、乘、除、分数、百分数及所有其他算术的基本过程。书面计算的最初应用应始于在口头计算中业已熟悉的小数字计算。

同样在开始几何学教学之时，我们也须以儿童对于直觉空间的天然兴趣为基点。所有对于几何学的天然兴趣都必须发挥其作用。发展儿童的审美空间设计与归类的能力，以激发其心智活动，并运用适当手段去激发他们在算术、几何学习中所需的观察能力。如此做法遵循了种族发展的秩序，以上方式先于明确的、强调逻辑的几何作图而出现，是日后培养心智能力的必由之路。大量证据显示，在设计与归类中具有特殊能力的人，他们的思维具有某种特殊的魅力，而这部分人比仅仅掌握几何学抽象概念的人要少很多。这恰是学校中几何教学存在失误的证明。在教学中，应通过包含分层或点群的图表、纵横图、数谜游戏等方式激发儿童的兴趣，这些能够令儿童体会到数字与空间关系的神秘与魔力。(https://www.daowen.com)

在数学教学当中，那些教科书、传统教学方法之外的各种方法并非不重要，只是教师对这些知之甚少。许多游戏非常适合用来训练儿童对于数字与几何关系的感知：多米诺骨牌和骰子是不错的数学教具，裁纸、折纸等创造性游戏有助于激发儿童对几何的兴趣，迷宫、单人纸牌、国际象棋、拼图游戏等也是算术、几何教学的理想用具。绘画与数字描图也是对数学能力的锻炼。对雪花等晶体模型、数学戏法、魔术的研究，都能增长并拓宽儿童对数学的兴趣。以上这些途径和方式对于儿童的数学基因都具有天然的吸引力，是发展儿童数学兴趣的便捷方式。

所有事实与原则均显示，在对低龄儿童进行数学教学的过程中，一定要以自由的精神活动为目标。在儿童的日常生活中，其思维的内容比能够明确用言语表达的要多得多。因此，最初实用数学只居于从属地位。然而学习实用数学的关键期一旦到来，就应当通过与工商业活动紧密接触的方式集中进行教学，如与木工测算、银行业务和会计核算等方法相结合。我们应当求助于应用数学家，从他们那里获得一些专家方法、捷径以及设备，而不是让过分重视知识系统性的教学损害了儿童在数学方面的可塑性与兴趣。此时，数学教学工作必须由实际的兴趣来主导，正如同在学习掌控数字序列的阶段，对于数字兴趣的自由表达必须居于主导地位一样。所有这些工作，特别是三年级以后的数学教学，应当由更具专业水准的教师来承担。如果教师对于数学及其实际应用能有一个融会贯通的理解，就能在教学中节省大量的时间和精力，没有哪一科目像数学这样需要专家型的教师。正如精确科学一样，将逻辑证明视为其理想的精确数学是在人类种族发展的历史上最晚出现的，它的出现以先前各阶段的发展为基础。因此，精确数学的教学理应在教学进程中最晚出现。