高等数学第三套模拟题优化

一、选择题1.选A [解析] ，因此选A.

2.选A [解析] ，因此选A.

3.选D [解析] y′=（x⁻¹+3）′=（x⁻¹）′+3′=−x⁻²，y′|_x=1=−1，因此选D.

4.选C [解析] y′=（e^x−3）′=e^x−3⋅（x−3）′=e^x−3，dy=y′dx=e^x−3dx，因此选C.

5.选C [解析] 由于f（x）为[a，b]上的连续函数，因此存在，它为一个确定的常数.由定积分与变量无关的性质，可知，因此选C.

6.选B [解析] ，因此选B.

7.选D [解析] y=cos3x，则y′=−sin3x⋅（3x）′=-3sin3x.因此选D.

8.选D [解析] 积分区域D可以由0≤x≤1，x²≤y≤x表示，其图形为右图中阴影部分.

也可以将D表示为0≤y≤1，，因此选D.

9.选C [解析] 级数各项取绝对值得级数，为发散级数.由莱布尼茨判别法可知收敛，从而收敛，可知为条件收敛，因此选C.

10.选D [解析] y′=1，则，dy=dx，∫dy=∫dx，从而y=x+C为通解，因此选D.

二、填空题

11.x=−3 [解析] 由于分母不能为零，故当x+3=0，即x=−3为所给函数的间断点.

12. [解析] ，或

13. [解析] ，，.

14.e^xdx [解析] 由于y=e^x，可得y′=e^x，dy=y′dx=e^xdx.

15.y−2=3（x−1）（或写为y=3x−1） [解析] y=2x²−x+1，点（1，2）在曲线上，且y′=4x−1，y′|_x=1=3，因此曲线过点（1，2）的切线方程为y−2=3（x−1），或写为y=3x−1.

16. [解析] 由可变限积分求导公式可得

17.arctanx+C [解析]

18.−1 [解析] f′（x）=4x+4=4（x+1），令f′（x）=0，得驻点x=−1.又由f′′（x）=4，f′′（−1）=4>0，可知x=−1为f（x）的极小值点.(https://www.daowen.com)

19.2 [解析] 若，则收敛半径，故，所以R=2.

20.y=Ce^−4x [解析] 分离变量，

两端分别积分

三、解答题

21.解：

22.解：y的定义域是（­∞，+∞）.

当-1<x<1时，y″>0.

故y=ln（1+x²）的凹区间是（-1，1）.

23.解：

，则，，所以

24.解：

25.解：D的图形见右图中阴影部分.

由y²=x得.

如果选择先对x积分，后对y积分的二次积分次序，运算时将出现分部积分，运算较复杂.

26.解：为一阶线性微分方程.

27.解：所围图形见右图中阴影部分.

28.解：设，则x−f（x）=A，两端分别积分可得

故 .