高等数学第十三套模拟题优化

一、选择题

1.选A [解析] 利用等价无穷小代换当x→0时，sinx～x，

因此.

或利用重要极限公式.故选A.

2.选C [解析] f（x）为分式，当x=−3时，分式的分母为零，f（x）没有定义，因此x=−3为f（x）的间断点，故选C.

3.选D [解析] y=2^x，y′=2^xln2，dy=y′dx=2^xln2dx，故选D.

4.选B [解析] ，，故选B.

5.选B [解析] ∫e^−xdx=−∫e^−xd（−x）=−e^−x+C，故选B.

6.选D[解析]由可变限积分求导公式可知，故选D.7.选A [解析] ，故选A.

8.选A [解析] z=x²y³+cosy−y，求时，只需认定y为常量.，故选A.

9.选C [解析] ，故选C.

10.选C [解析] 所给方程为可分离变量方程.分离变量，

两端分别积分，

lny=−x+C₁，

y=e^−x+C1=Ce^−x，故选C.

二、填空题

11. [解析] 由公式可知，

12. [解析] 所求极限的表达式为分式，当x→2时，分母的极限不为零，因此

13. [解析] ，

14. [解析]

15. [解析]

16. [解析]

17.4x³y [解析] z=x⁴y+tany，求时，只需认定y为常量，(https://www.daowen.com)

18. [解析] 所求直线与已知平面垂直，因此所求直线的方向向量s平行于已知平面的法线向量n.取s=n=（1，-1，3）.由于直线过点M₀（1，2，-1），由直线的点向式方程可知所求直线方程为

19.2 [解析]

20.1 [解析] 所给幂级数为不缺项情形，a_n=n，a_n+1=n+1，

，收敛半径

三、解答题

21.解：

22.解：y=x²lnx，则，dy=y′dx=x（1+2lnx）dx.

23.解：

24.解y"−y′−2y=0，

特征方程为 r²−r−2=0，

（r−2）（r+1）=0.

特征根为 r₁=2，r₂=−1.

方程的通解为 y=C₁e^2x+C₂e^−x.

25.解：，，

26.解：由解得两组解

所围图形见右图阴影部分

27.解：在极坐标系下区域D可以表示为0≤r≤1，0≤θ≤π.

也可以利用二重积分对称性：积分区域D关于y轴对称，f（x）=x为关于x的奇函数，因此，即

再利用极坐标计算.

28.解：

其中，即−7<x<3，收敛区间为（-7，3）.