高等数学第四套模拟题优化

一、选择题

1.选D [解析] 由极限的基本公式知，因此选D.

2.选B [解析] 利用公式，，可知，因此选B.

3.选D [解析] ，因此选D.

4.选C [解析] y′=[cos（x−3）]′=−sin（x−3）⋅（x−3）′=−sin（x−3），dy=y′dx=−3sin（x−3）dx，因此选C.

5.选C [解析] y=x−e^x，y′=1−e^x，由y′|_x=0=0，可知应选C.

6.选C [解析] 被积函数sin⁵x为奇函数，积分区间[−1，1]为对称区间.由定积分的对称性质知选C.

7.选A [解析] ，因此，可知应选A.

8.选B [解析] 由于区域D的图形为由x²+y²=1围成的圆的上半部，所以，故应选B.

9.选A [解析] 级数

为的p级数，因此为收敛级数，由级数性质可知收敛，故绝对收敛，应选A.

10.选C [解析] 由线性方程解的结构定理知应选C.仅当y₁、y₂为线性无关特解时，A才正确.

二、填空题

11. [解析] ，

12.−sinxdx [解析] y=cosx，则y′=−sinx，dy=y′dx=−sinxdx.

13.y=1 [解析] ，

故水平渐近线方程是y=1.

14.-2 [解析] ，由已知，k=-2.

15. [解析]

16.-2y [解析] 求时，将x认定为常量，则

17.（0，2） [解析]y′=3（x²−1），y′′=6x.由y′′=0，有x=0.

当x>0时，y″>0；当x<0时，y′′<0；而x=0时，y=2.故拐点为（0，2）.

18.2 [解析] .

19.0 [解析] ，所以R=0.

20.x²+y²=C [解析] 分离变量，得ydy=­xdx.(https://www.daowen.com)

两边积分，有 y²=­x²+C.

三、解答题

21.解：

或自（*）处利用洛必达法则.

22.解： y=x²+2^x，

y′=（x²）′+（2^x）′=2x+2^xln2.

23.解：设F（x，y，z）=e^z-z+xy-3=0，

F_x′=y，F_y′=x，F_z′=e^z−1，

从而 ，，

故 .

24.解：.

25.解：y″+4y=0的特征方程为r²+4=0，从而特征根为r_1，2=±2i，故其通解为

y₁=C₁cos2x+C₂sin2x.

因为自由项f（x）=e^2x，α=2不是特征根.故设y^*=Ae^2x.

代入原方程，有，，

故y″+4y=e^2x的通解为

26.解：所围图形见右图中阴影部分.

27.解：依题意，面密度函数为，

所以

28.解：（1）依题设：，即

因为，q（x）=x²，

通解为

将 代入通解，得C=0，故所求为

（2）记所求面积为A，则A