高等数学第十一套模拟题解析方法

一、选择题

1.选D [解析] 由公式，可知，因此选D.

2.选A [解析] 由于，又知f（x）在点x=0处连续，因此，可知a=3，故选A.

3.选B [解析] ，则，，故选B.

4.选B [解析] 由于y=cos4x，因此y′=（cos4x）′=−sin4x⋅（4x）′=−4sin4x.

dy=y′dx=−4sin4xdx，故选B.

5.选C [解析] 由于f（x）为连续函数，，可知，故选C.

6.选A [解析] 由于x²为f（x）的一个原函数，由原函数的定义可知f（x）=（x²）′=2x，故选A.

7.选C [解析] ，故选C.

或设t=3x，则dt=3dx，，故选C.

8.选A [解析] z=yx²+siny+3，求时，只需将x认定为常量，因此

，故选A.

9.选C [解析]，故选C.

10.选D [解析] 由微分方程yy′=1，

分离变量 ydy=dx，

两端分别积分，故选D.

二、填空题

11.5 [解析] 12.10 [解析] 由于求极限的表达式为分式，且分母的极限不为零.因此

13. [解析] ，，则.

14.−cosx [解析] y=cosx，y′=−sinx，y′′=（−sin′）′=−cosx.

15.3ln|x+4|+C [解析] .(https://www.daowen.com)

16.3sin1 [解析] .

17.2ye^x+x [解析] z=y²e^x+xy+3，求只需认定x为常量，则.

18. [解析] 所给直线的方向向量为（1，2，-1）.所求直线与已给直线平行，则可取所求直线方向向量为（1，2，-1）.由于所求直线过原点（0，0，0），由直线的点向式方程可知即即为所求直线方程.

19.0 [解析]

20. [解析] 所给幂级数为不缺项情形，a_n=3ⁿ，a_n+1=3ⁿ⁺¹，，可知收敛半径.

三、解答题

21.解：解法1 利用等价无穷小代换

当x→0时，e^x−1～x，sinx～x，可得

解法2 利用洛必达法则

22.解：

23.解：

24.解：，相当于（），q（x）=x.

由通解公式可知

25.解：z=x²e^y，则，，

26.解：y=lnx，，，则曲线y=lnx过点（e，1）的切线方程为

，即y=x

D的图形见右图阴影部分.

27.解：在极坐标系下，D可以表示为0≤r≤1，，则

28.解：由于，可知−∞<x<+∞.