高等数学第九套模拟题

一、选择题

1.选D [解析] ，因此选D.

2.选C [解析] ，因此选C.

3.选A [解析] y′=（5x−3）′=5（x）′−3′=5，因此选A.

4.选A [解析] ，因此选A.

5.选B [解析] 被积函数为奇函数，积分区间对称，由定积分性质知积分为0，因此选B.

6.选C [解析] ，因此选C.

7.选A [解析] z=x²+y，，，，因此选A.

8.选D [解析] 因为积分区域为矩形，面积为2，被积函数为1，因此原式=2，所以选D.

9.选B [解析] ，，因此，所以选B.

10.选B [解析] 由r²−4=0，r₁=2，r₂=−2，知y′′−4y=0的特征根为2，-2，故选B.

二、填空题

11.1 [解析] 当x→1时，sin（x−1）→0，由重要极限公式，可知.

12.x=−3 [解析] 由于x=−3时，没有定义，因此x=−3为间断点.

13.1 [解析] f（x）=x（x-1）=x²−x，f′（x）=2x-1，f′（1）=1.

14. [解析] y=lnx，则，

15.0 [解析] 设f（x）=sinx³，则f（x）为奇函数，积分区间为对称区间，故定积分为零.

16.（2x−y）dx+（2y−x）dy [解析] f（x，y）=x²+y²−xy，

从而 f_x′（x，y）=2x−y；f_y′（x，y）=2y−x，于是

dz=（2x−y）dx+（2y−x）dy.

17.（−∞，2） [解析] f′（x）=4x−x²，f′′（x）=4−2x.

令f′′（x）=0，由4−2x=0得x=2.当x<2时，f′′（x）>0；当x>2时，f′′（x）<0，故f（x）的凹区间是（−∞，2）.

18. [解析] 由于直线与平面x−2y+4z=0垂直，可取直线方向向量为（1，-2，4），因此所求直线方程为 .

19.0<k≤1 [解析] k>1时，级数各项取绝对值，得正项级数，是收敛的p级数，从而原级数绝对收敛.当0<k≤1时，由莱布尼茨交错级数收敛性条件可判明原级数收敛且条件收敛.因此应有0<k≤1.

20.y=C₁+C₂x. [解析] y"=0，特征方程为r²=0，特征根为r=0（二重根），于是二阶常系数齐次线性方程的通解为y=C₁+C₂x.

三、解答题(https://www.daowen.com)

21.解：

22.解：对y=x²+y²两边微分

dy=2xdx+2ydy，

所以 .

23.解：记，则f（x）=3x−2A，两边求积分，有

从而

故 .

24.解：z=x²−xy+y²+x+y，则由

，解得

点P（-1，-1）为唯一驻点.

B²-AC=-3<0，A>O.因此点（-1，-1）为z的极小值点，极小值为1．

25.解：方程为一阶线性微分方程．

通解

26.解：由题设切点为.，从而切线方程为，

即 .

（所围图形见右图阴影部分）

27.解：D的图形见右图阴影部分.

在极坐标系下D图形的范围可以表示为

因此

28.解：依题意，有 ，其中y=f（x）.

两端对x求导，得 y=2y+2xy′，

从而 2xy′=−y，即 .

解此微分方程，得 2lny=−lnx+lnC，

将y（1）=2代入，得出C=4. 所求曲线方程为