数列极限存在准则应用实例

当数列极限不易用运算法则和函数极限计算时，往往使用极限存在准则进行计算.

数列极限有以下两个存在准则：

数列极限存在准则Ⅰ 设数列{x_n}，{y_n}，{z_n}，如果它们满足y_n≤x_n≤z_n（n=1，2，…），且，

注 在利用数列极限存在准则Ⅰ计算时，可以通过适当缩小与放大x_n，寻找数列{y_n}与{z_n}.

数列极限存在准则Ⅱ 设数列{x_n}单调不减有上界或单调不增有下界，则存在.

注 当{x_n}由递推式x₁，x_n+1=f（x_n）（n=1，2，…）定义时，往往使用这一准则，并且当证得n存在时，记其极限为A，对所给递推式两边令n→∞取极限得A=f（A）.解此方程所得A的值，即为的值.

例2.1 计算下列数列极限：

（1），其中，n=1，2，…；

（2），其中，2，….

精解 （1）由于不是某个函数的积分和式，现对它作适当缩小与放大得

并且所以由数列极限存在准则Ⅰ知

（2）容易看到

并且，所以，由数列极限存在准则Ⅰ知

例2.2 证明：

（1）1-2t²＜cos 2t＜1（0＜t≤1）；

精解 （1）对t∈（0，1]，显然有cos 2t＜1，下面证1-2t²＜cos 2t.

记f（t）=cos 2t-（1-2t²），则它在[0，1]上连续，在（0，1）内可导且

f′（t）=-2sin 2t+4t=2（2t-sin 2t）＞0，所以，对于t∈（0，1]有f（t）＞f（0）=0，即1-2t²＜cos 2t.(https://www.daowen.com)

（2）由（1）中已证的不等式知

其中所以，由数列极限存在准则Ⅰ得

例2.3 求下列极限：

（1），其中{x_n}是由递推式0＜x₁＜π，x_n+1=sin x_n（n=1，2，…）定义的数列；

（2），其中{x_n}是（1）中定义的数列.

精解 （1）由于{x_n}是由递推式定义的，所以宜用数列极限存在准则Ⅱ求解.由x₁∈（0，π）知{x_n}是正项数列（容易看到x_n＜1，n=2，3，…），

x_n+1=sin x_n＜x_n （n=1，2，…），即{x_n}单调减少有下界，所以由数列极限存在准则Ⅱ知存在，记为A，则A∈[0，1）.

在递推式x_n+1=sin x_n的两边令n→∞取极限得A=sin A.显然在[0，1）上该方程仅有解A=0.因此

（2）由于，所以将上式右边的x_n换为x，得1∞型未定式极限

其中，因此从而

例2.4 （1）证明：对任意的正整数n，成立；

（2）设，证明数列{a_n}收敛.

精解 （1）ln（1+x）在上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在ξ∈，使得

即所以由得

（2）现用数列极限存在准则Ⅱ证明{a_n}收敛.对n=1，2，…，由

以及知{a_n}单调减少有下界.因此由数列极限存在准则Ⅱ知{a_n}收敛.