1.5.3　极坐标方程函数

1.5.3　极坐标方程函数

在平面上定义由一定点和一条定轴所组成的坐标系称为极坐标系.平面上的一点P既可用直角坐标P（x，y）表示，也可用极坐标P（r，θ）来表示，如图1.42所示.定点O称为极点，定轴Ox轴为极轴，点P到定点O的距离为极径，关于极轴Ox的倾角θ为极角，P在第一象限时对应的极角 .

定义1.5.3　若取极点作为原点，极轴作为x轴建立直角坐标系，这样便可得到极坐标与直角坐标的关系为

式中，极径r和极角θ的变化范围为0≤r＜+∞，0≤θ≤2π，极坐标的点与直角坐标的点之间形成了一一对应关系.建立r与θ关系的等式称为极坐标方程.

在极坐标系中，θ＝θ0（常数）表示一条射线，r＝r0（常数）表示一个圆，如图1.43所示.

图1.42　极坐标和直角坐标的关系

图1.43　极坐标中的射线和圆

利用直角坐标和极坐标的关系可以将直角坐标表示的函数（显函数或者隐函数）与极坐标表示的函数进行相互的转化.

例1.5.1　将极坐标方程r＝2cosθ化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线.

解　方程两边同乘以r得

r2＝2rcosθ

又由极坐标与直角坐标的关系，可得x2+y2＝2x，即（x-1）2+y2＝1所以，它表示圆心为（1，0），半径为1的圆.

例1.5.2　将心形线，如图1.44所示，r＝a（1+cosθ）（a＞0）方程转化为直角坐标方程.

解　方程两边同乘以r得

r2＝a(r+rcosθ)

由极坐标与直角坐标的关系，可得(https://www.daowen.com)

例1.5.3　将隐函数方程（x2+y2）2　＝a2（x2-y2）（a＞0）化为极坐标方程.

解　由直角坐标与极坐标的关系，可得

r4＝a2r2（cos2θ-sin2θ），即r2＝a2（cos2θ-sin2θ）＝a2cos2θ

所以，对应的极坐标方程为

因为的周期为2π，其一个周期长度的区间为，又由于cos2θ≥0，所以

所以隐函数（x2+y2）2＝a2（x2-y2）的极坐标方程为

它表示的是双扭线，如图1.45所示.

此外，阿基米德螺线的极坐标方程为r＝aθ，如图1.46所示.这些图像将会在第6章定积分的应用中出现.

图1.44　心形线

图1.45　双扭线

图1.46　阿基米德螺线