2.1 数列极限
学习目标与要求
（1）理解数列极限的概念和性质；
（2）了解单调有界数列的概念.
在很多情况下，我们不能通过有限次的算术运算来求解一些实际问题的精确解，而是需要通过对一个无限变化过程的变化趋势进行分析才能求得，极限的思想就是由此产生的.下面先来看两个具体的例子.
引例2.1.1 圆的面积问题
魏晋时期的数学家刘徽于公元263年在撰写的《九章算术注》中首创利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法，即割圆术，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，这是极限思想在几何学上的应用.
如图2.1所示，设有一圆，首先作内接正6边形，把它的面积记为A1；再作内接正12边形，其面积记为A2；再作内接正24边形，其面积记为A3；照此一直作下去，每次边数加倍，把内接正6×2n-1边形的面积记为An（n∈N）.由此，可得一系列内接正多边形的面积：
A1,A2,A3,…,An,…
图2.1 圆内接正 多边形(https://www.daowen.com)
这些正多边形的面积构成了一列有次序的数，且n越大，内接正多边形的面积与圆的面积差别就越小，以An作为圆面积的近似值也越精确.但是无论n取得多么大，An仍然是多边形的面积，而不是圆的面积.所以，当n无限增大（即n→∞，读作n趋向于无穷大），内接正多边形将无限接近于圆，从数值上看，内接正多边形的面积An将无限接近于一个确定的数值，这个数值就是所要求的圆的面积.设有半径为r的圆，用其内接正n边形的面积An逼近圆面积S，An可表示为
实际上，内接正多边形可以从正三角形开始，因此上面的n可以从3开始取.
引例2.1.2 截杖问题
春秋战国时期著名的哲学家庄周在所著的《庄子·天下篇》中记载着慧施的一句名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去，木棒会越来越短，越来越趋近于零，但又会永远不等于零.将每天截后的木棒排成一列，有
第1天截下
，第2天截下
，第3天截下
，…，第n天截下
，…
由此得到一个数列：
，不难看出，当n 无限增大，所截得的木棒无限接近于零，如图2.2所示.
这两个例题的结果说明，有些函数在自变量的某一个变化过程中，随着自变量的变化，对应的函数值将无限接近于某个确定的数值.对于函数这一特殊的变化趋势，数学上称为函数在自变量的变化过程中有极限，该数值就称为函数的极限.
图2.2 截杖问题
