2.1.1　数列的概念

2.1.1　数列的概念

定义2.1.1　如果按照某一法则，对每个n∈N+，对应着一个确定的实数xn，这些实数xn按照下标n从小到大排列得到的一个序列

x1,x2,x3…,xn,…

就称为数列，简记为数列{xn}.

数列中的每一个数称为数列的项，x1称作数列的第一项，xn称作数列的第n项，也称作数列的一般项（或通项）.例如：

在几何上，数列对应着数轴上的一个点列，数列{xn}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1，x2，…，xn，…，如图2.3所示.

下面回顾一下中学学过的等差和等比数列.

（1）等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，公差常用字母d表示.等差数列的通项公式为

xn＝xn-1+d　(n＝2,3,…)

也可以写为

xn＝x1+(n-1)d

图2.3　数轴上的数列

前n项和的公式为

（2）等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）.q＝1时，称为常数列.等比数列的通项公式为

xn＝xn-1q　(n＝2,3,…)

也可以写为

xn＝x1qn-1

前n项和的公式为

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按照函数定义，数列xn可看作自变量为正整数n的函数，即

xn＝f(n),n∈Z+

当自变量n依次取1，2，3，…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列xn.由第1章有界函数和单调函数的概念，相应地可以得到有界数列和单调数列的概念.

定义2.1.2　给定数列{xn}，若存在常数M＞0，使得对一切n∈N+，有

则称数列{xn}为有界数列，M为数列{xn}的一个界.

数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间[-M，M]上，数列{xn}有界等价于{xn}既有上界又有下界.

如果数列{xn}不是有界的，则称数列{xn}为无界数列，即对任何正数M（无论有多么大），总有n∈N+，使得.

定义2.1.3　给定数列{xn}，如果对一切n∈N+，都有

则称数列{xn}为单调增加或单调减少数列.单调增加或单调减少数列统称为单调数列.

例如：

为有界的单调减少数列；

为无界数列，单调增加数列；

为有界数列，不具有单调性；

为有界数列，但不具有单调性.