2.1.2　数列的极限

1.数列的极限的定义

下面先观察式（2-5）～式（2-8）的四个数列随n无限增大时，数列{xn}的变化趋势.

（1）数列：当n无限增大时，它的一般项无限趋近于零；

（2）数列{2n}：当n无限增大时，它的一般项2n也无限增大，不趋近于某个确定的常数；

（3）数列{（-1）n+1}：当n无限增大时，它的一般项（-1）n+1有时等于1，有时等于-1，不趋近于任何确定的常数；

（4）数列：当n无限增大时，它的一般项无限趋近于1.

由上面的四个例子可以看出，当n无限增大时，数列{xn}的变化趋势可以分为两类，第一类就是当n无限增大时，其变化趋势是趋于某个确定的常数，这个确定的常数就是数列的极限，如数列（1）和（4），它们的极限分别为0和1；第二类就是当n无限增大时，其变化趋势是不确定的，即数列并不趋于某个确定的常数，如数列（2）和（3），所以数列（2）和（3）不存在极限.由上面的讨论可以得出数列极限的初步定义：

对一般的数列{xn}，如果当n无限增大（即n→∞）时，它的一般项xn无限趋近于某个确定的常数a，那么常数a就称为数列xn的极限.

上述四个简单的数列是否存在极限且极限值是多少，是通过观察来判断的，但对于比较复杂的数列是很难通过观察得出数列是否存在极限且极限是多少的，比如本节的例2.1.1，当n无限增大（n→∞）时，圆内接正多边形的面积无限趋近于圆的面积πr2，很难通过观察得出πr2为数列的极限.因此有必要寻求用精确的数学语言来对数列的极限加以定义.那么对于“无限趋近”意味着什么，用数学语言如何刻画它，下面以数列为例，来深入分析“当n→∞时，xn无限接近于某个常数a”的含义.

由于两个数a和b之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值来度量，在数轴上表示点a和点b之间的距离，越小，表示在数轴上点a与点b之间的距离就越小，a与b就越接近，所以当n→∞时，无限接近于常数1，就是说无限接近于零，也即可任意小.下面引入一个希腊字母ε来代表任意给定的无限小的正数，并用ε来刻画xn与其极限1的接近程度，即.

当n→∞时，点与1的距离可以表示为

如果给定只要n＞100时，即从第101项起，以后所有的点xn（x101，x102，x103，…）与1的距离小于；

如果给定，由不等式，只要n＞1000时，即从第1001项起，以后所有的点xn（x1001，x1002，x1003，…）与1的距离小于；

如果给定，由不等式，只要n＞10000时，即从第10001项起，以后所有的点xn（x10001，x10002，x10003，…）与1的距离小于.

一般地，对于任意给定的正数ε，由不等式可解得，又由于n∈N+，因此只要取正整数，当n＞N，就可以使，也即从第N+1项起以后的一切项xn均满足不等式.

由上面的讨论可推广为，若数列{xn}的极限为a，则对于任意给定的正数ε（无论它多么小，或要多小有多小），总能找到一个正整数N，使得当n＞N时，点xn与点a的距离都小于给定的ε，即.由此给出如下的数列极限的严格定义.

定义2.1.4　设有数列{xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式都成立，那么就称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为

如果数列没有极限，就说数列是发散的.

关于数列极限概念的几点说明.

（1）“对于任意给定的正数ε”应理解为ε具有任意给定性，它描述点xn与点a无限接近的程度.只有ε是任意的，才能描述随着n的无限增大，点xn与点a无限接近；另外，只有ε给定，才能找到正整数N，使得n＞N的所有点都满足不等式.

（2）定义中，给定ε后，数列{xn}总存在第N项，其后的所有项（n＞N）都有ε.因此，N与ε有关，即N＝N（ε），且N并不唯一，找到一个即可，在极限的证明问题中，常取较大的正整数N.

2.数列极限的几何解释

由于当n＞N时，数列{xn}中从第N+1项开始，以后所有各项xN+1，xN+2，xN+3，…，都满足不等式，也即a-ε＜x＜a+ε.若将常数a及数列x1，x2，…，xn，…在数轴上用它们对应的点来表示，任意给定一个正数ε，并在数轴上作出点a的ε邻域U（a，ε），即开区间（a-ε，a+ε），那么这些下角标大于N的无限多个点xN+1，xN+2，xN+3，…将全部落在邻域U（a，ε）中，而落在该邻域外的只有有限个点（至多只有N个），如图2.4所示.