2.1.3 收敛数列的性质
收敛数列具有以下性质.
定理2.1.1（极限的唯一性） 如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一.
证明 用反证法.假设同时有
.因为
xn＝a，故存在正整数N1，使得对于当n＞N1的一切xn，不等式
都成立.因此，可解得
.
同理，因为
，故存在正整数N2，使得对于n＞N2的一切xn，不等式
都成立.因此，可解得
取N＝max{N1，N2}，以上两式都成立，但式（2-9）要求
而式（2-10）要求xn＞
，这是矛盾的，故假设不成立，因此收敛数列的极限必唯一.
例2.1.4 证明数列xn＝（-1）n+1（n＝1，2，…）是发散的.
证明 如果这数列收敛，根据定理1它有唯一的极限，设
.由数列极限的定义，对于
，则存在着正整数N，当n＞N时，
成立；即当n＞N时，xn都在开区间
内，但这是不可能的，因为当n→∞时，xn无休止地一再重复取得1和-1这两个数，而这两个数不可能同时属于长度为1的开区间
内.因此这数列是发散的.
定理2.1.2（收敛数列的有界性） 如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界.
证明 因为数列xn收敛，则其极限存在，故可设
，取ε＝1，根据数列极限的定义，存在正整数N，使得对于当n＞N时的一切xn，恒有
.于是当n＞N时，有
|xn|＝|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|＜1+|a|
取M＝max{|x1|，|x2|，|x3|，…，|xN|，1+|a|}，则对一切正整数n，都有|xn|≤M成立，所以收敛数列xn是有界的.
注：根据该定理，如果数列xn无界，那么数列xn一定发散，即无界数列必发散；但如果数列xn有界，却不能断定它一定收敛，即有界数列不一定是收敛的.例如，摆动数列
-1,1,-1,…,(-1)n,…
是有界的，但它却是发散的，所以数列有界是数列收敛的必要非充分条件.
定理2.1.3（收敛数列的保号性） 如果
，且a＞0（或a＜0），那么存在正整数N，当n＞N时，都有xn＞0（或xn＜0）.
证明 就a＞0的情形证明
由数列极限的定义，对
，∃N＞0，当n＞N时，有(https://www.daowen.com)
从而有
同理可证a＜0的情形.
注：收敛数列的保号性只保证n＞N时，数列的符号与极限值的符号一致，并不保证整个数列的符号与极限值符号一致，也即数列中从第N+1项开始后的各项符号与极限值一致，而数列中第一项到第N各值的符号根据定理无从判断.
推论：如果数列{xn}从某项起有xn≥0（或xn≤0），且
，那么a≥0（或a≤0）.
证明 设数列{xn}从第N1项起，即当n＞N1时，有xn≥0.
用反证法： 若
，由定理2.1.3知，∃N2＞0，当n＞N2时，有xn＜0，取N＝max{N1，N2}；当n＞N时，按假定有xn≥0，按定理2.1.3有xn＜0，从而产生矛盾，所以a≥0.
同理可证xn≤0的情形.
最后介绍子数列的概念以及收敛数列与其子数列间关系定理.先给出子数列的概念：定义2.1.5 从数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{xn}中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列，简称为子列.
设有一数列x1，x2，…，xn，…，从中任意选取无穷多项且保持原数列中的先后次序，则可构成数列
xn1,xn2,…,xnk,…
该数列{xnk}就是数列{xn}的一个子列.
注：在子列{xnk}中的一般项xnk是子列中的第k项，而xnk在原数列{xn}中却是第nk项.显然nk≥k.
定理2.1.4（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.
证明 设数列{xnk}是数列{xn}的任一子数列.
由于
，故对任意给定的正数ε，存在正整数N，当n＞N时，|xn-a|＜ε成立.
现取正整数K，使nK≥N，则当k＞K时，nk＞nK＝nN≥N，从而有
，由此证明了
.
由定理2.1.4可知，如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}一定是发散的.例如摆动数列的子数列{x2k-1}收敛于1，而子数列{x2k}收敛于-1，因此数列xn＝（-1）n+1（n＝1，2，…）是发散的.同时这个例子也说明，一个发散的数列也可能有收敛的子数列.
-1,1,-1,…,(-1)n,…
