2.2.1　自变量趋于有限值时函数的极限

2.2.1　自变量趋于有限值时函数的极限

1.函数极限的概念

下面先举一个例子.

引例2.2.1　测量正方形面积（真值：边长为x0；面积为A）.

图2.5　正方形的面积

如图2.5所示，要想得到正方形的面积，通常的做法是先测量正方形的边长x，所以边长x是一个直接观测值.正方形面积可由边长的平方求得为x2，而x2不是直接观测所得，所以它是一个间接观测值.现任给一间接观测值精度ε，要求所测得正方形的面积x2和正方形面积的真值A之间的误差小于ε，即的精度不能直接控制，但x的精度可以直接控制，这样问题就由控制面积的精度转化为控制边长的精度，引入直接观测值精度δ，问题可表述为要使成立，需要求直接观测值x与正方形边长的真值x0之间的误差小于δ，也即的取值要受ε的限制，也即δ＝δ（ε），且δ越小，ε也越小.

引例2.2.1说明x任意地趋于x0（x→x0），对应的函数值f（x）＝x2就无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数f（x）当x→x0时的极限.下面给出函数极限的定义.

定义2.2.1　设函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式时，对应的函数值f（x）都满足不等式，那么常数A就称为函数f（x）当x→x0时的极限，记作

关于自变量趋于有限值时函数极限概念的几点说明.

（1）ε反映了函数f（x）与极限值A间的距离，δ反映了x与x0的接近程度；

（2）ε的任意给定性表示ε可以小到没有任何限制，对应的表示f（x）与A无限接近；

（3）定义中表示x≠x0，所以x→x0时函数f（x）在点x0处是否有极限与函数在该点处是否有定义无关，有定义时也与f（x0）为何值无关，极限是否存在关键是在x→x0时，f（x）→A是否成立；

（4）ε任意给定后，才能找到δ，δ依赖于ε，且δ＝δ（ε），δ越小，ε也越小.

2.函数极限的几何意义

如果函数f（x）当x→x0时极限为A，以任意给定一正数ε，作两条平行于x轴的直线y＝A+ε和y＝A-ε，存在着点x0的一个去心的δ邻域U◦（x0，δ）（（x0-δ，x0+δ）），当y＝f（x）的图形上的点的横坐标落在开区间（x0-δ，x0+δ）内时，这些点的纵坐标f（x）满足不等式

即

A-ε＜f(x)＜A+ε

图2.6　函数极限的几何意义（x→x0）

从而这些点（x，f（x））都落在平行线构成的矩形区域内，如图2.6所示.

极限的定义可以用“ε-δ”语言简洁地表示为∀ε＞0，∃δ＞0，当时，恒有成立.

下面举例说明如何根据极限的定义去严格证明函数的极限.

证明思路：用定义证明函数f（x）在x→x0时的极限值为A，关键是找δ，由于f（x）是关于x的函数，A是常数，ε是给定的常数，所以由出发，通过化简也可以适当缩小找到小于一个关于ε的函数，这个函数即为要找的δ.

例2.2.1　证明，（C为常数）.

证明　由于，因此对于任意给定的正数ε，可任取一正数作为δ，当时，可使不等式

成立.所以.

例2.2.2　证明.

证明　由于，因此对于任意给定的正数ε，可取δ＝ε，当0＜时，可使不等式

成立.所以.

例2.2.3　证明.(https://www.daowen.com)

证明　函数在点x＝1处没有定义，但f（x）在当x→1时的极限与f（1）不存在无关.因为，只要取δ＝ε，当

所以，对于任意给定的正数ε，要使时，对应的函数值就满足不等式

即　.

例2.2.4　证明：当x0＞0时.

证明　函数的定义域为x≥0，可用来保证.

因为

对∀ε＞0，要使，只要.既要保证函数成立也即x0，又要使成立，故取，则当时，必有

因此.

3.单侧极限

x→x0是指x以任意方式趋于x0，由于研究的是一元函数，所以x趋于x0包括x既从x0的左侧也从x0的右侧趋于x0.有时仅需研究函数在x0某一侧的变化情况，便引入了单侧极限的概念.

x仅从x0的左侧趋于x0（记作），x仅从x0的右侧趋于x0（记作），下面给出单侧极限的定义.

定义2.2.2　设函数f（x）在点x0的某个左（或右）邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式x0-δ＜x＜x0（或x0＜x＜x0+δ）时，对应的函数值f（x）都满足不等式，那么常数A就称为函数f（x）在点x0处的左（或右）极限.

左极限记作

右极限记作

根据x→x0时函数f（x）的极限的定义以及左极限和右极限的定义，容易证明：函数f（x）在当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限均存在且相等，即

因此，当中至少有一个不存在，或者两个都存在但不相等时，就可认定不存在.下面举例说明.

例2.2.5　设函数.

求与，并由此判断是否存在.

解　左极限

右极限

因为左极限和右极限不相等，所以不存在，如图2.7所示.

注：求分段函数在分点处的极限，需要分别求左极限和右极限来判断函数在该点是否存在极限.

图2.7　f（x）在x＝0　处的极限