2.2.3　函数极限的性质

2.2.3　函数极限的性质

函数极限与数列极限有相类似的一些性质，其证明方法也与数列极限相应性质的证明方法类似.下面所有性质中的极限都为x→x0时函数的极限，对于x→∞时函数的类似极限性质只需稍作修改即可，读者可自行完成.

定理2.2.1（函数极限的唯一性）　如果存在，则极限必唯一.

定理2.2.2（函数极限的局部有界性）　如果，则存在常数M＞0和δ＞0，使得当时，有.

证明　因为，所以对于ε＝1，则存在δ＞0，当时，有

所以

取，则有.

定理2.2.3（函数极限的局部保号性）　如果，且A＞0（或A＜0），那么存在常数δ＞0，使得当时，有f（x）＞0（或f（x）＜0）.(https://www.daowen.com)

证明　就A＞0的情形证明.因为，则存在δ＞0，当0＜时，有

即

类似地可证明A＜0的情形.

推论2.2.1　如果在x0的某一去心邻域内f（x）≥0（或f（x）≤0），而且，则A≥0（或A≤0）.

注：若定理2中的条件改为f（x）＞0，未必有A＞0，如.

推论2.2.2（函数极限的局部保序性）　如果且A＞B（或A＜B），那么存在常数δ＞0，当时，都有f（x）＞g（x）（或f（x）＜g（x））.

注：由于函数极限的概念本来就具有局部性质，函数在一点处的极限只能表示在该点附近的性质，所以函数极限的性质也只能是“局部性质”.