2.2.2 自变量趋于无穷大时函数的极限
1.自变量趋于无穷大时函数的极限的定义
设函数f（x）在
（M为某一正数）时有定义，如果当x的绝对值无限增大（x→∞）时，函数f（x）的值无限接近于一个确定的常数A，那么A称为函数f（x）当x→∞时的极限.
参照自变量趋于有限值时函数的极限定义，可以得出如下的自变量趋于无穷大时函数极限的精确定义.
定义2.2.3 设函数f（x）当
（M为某一正数）时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式
，对应的函数值f（x）就都满足不等式
那么常数A就称为函数f（x）当x→∞时的极限，记作
如果这样的常数A不存在，那么就称x→∞时f（x）没有极限.
关于自变量趋于无穷大时函数极限概念的几点说明.
（1）x→∞的方式有两种：如果x＞0且无限增大，也即x沿x轴的正方向无限增大，记作x→+∞，只要把上述定义中的
改为x＞X，就可得
的定义.x＜0而
无限增大，也即x沿x轴的负方向无限减小，记作x→-∞，只要把
改为x＜-X，便得
的定义.
（2）函数f（x）当x→∞时的极限存在的充分必要条件是f（x）当x→+∞和x→-∞时的极限都存在且相等，即
.若
或
不存在，则
不存在；若
，则
也不存在.
2.自变量趋于无穷大时函数极限的几何意义
如果函数f（x）当x→∞时极限为A，以任意给定一正数ε，作两条平行于x轴的直线y＝A+ε和y＝A-ε，则总存在一个正数X，使得当x＜-X或x＞X时，函数y＝f（x）的图形位于这两条直线之间，如图2.8所示.
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图2.8 函数极限的几何意义（x→∞）
极限
的定义也可以用“ε-X”语言简洁地表示为
∀ε＞0，∃X＞0，当
时，恒有
ε成立.
下面举例说明如何根据自变量趋于无穷大时函数极限的定义去严格证明函数的极限.
证明思路：用定义证明函数f（x）在x→∞时的极限值为A，关键是找X，由于f（x）是关于x的函数，A是常数，ε是给定的常数，所以由
出发，通过化简也可以适当放大找到
大于一个关于ε的函数，这个函数即为要找的X.
例2.2.6 证明
证明 对任意给定的ε＞0，要使
只要
，故可取
，当|x|＞X时，恒有
故
.
当x→∞时，曲线
与 水平直线y＝0无限接近，称直线y＝0为函数
的 图形的水平渐近线，如图2.9所示.一般地，如果
（x）＝C，那么直线y＝C就是函数y＝f（x）的图形的水平渐近线（详见本书第4章第4.5节）.
图2.9 函数
的渐近线
