2.3.1 无穷小
1.无穷小的概念
如果函数f（x）当x→x0（或x→∞）时的极限为零，那么称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小.
例如
，所以函数（x-2）是当x→2时的无穷小.
，所以函数
是当x→∞时的无穷小.
由于无穷小是指函数f（x）在自变量的变化过程中极限值为零，所以无穷小也可以用极限的形式来定义，下面给出无穷小更精确的定义.
定义2.3.1 如果对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ（或正数X），使得当x满足不等式0＜|x-x0|＜δ（或|x|＞X），对应的函数值f（x）都满足不等式|f（x）|＜ε，则称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小，记作
.
关于无穷小定义的几点说明.
（1）无穷小的ε-δ（或ε-X）语言描述：∀ε＞0，∃δ＞0（或X＞0），当
（或
）时，有
；
（2）此概念对函数的单侧极限和数列极限都适用，例如若
，称数列xn为n→∞时的无穷小；
（3）无穷小是一个变量，而不是一个数.不要和很小的数（例如百万分之一）混淆，但0可以作为无穷小的唯一一个常数，因为如果f（x）≡0，那么对任意给定的ε＞0，总有|f（x）|＜ε；
（4）不能说函数f（x）为无穷小，应该说函数f（x）是在什么情况下的无穷小，即指出自变量的变化过程.
定理2.3.1（无穷小与函数极限的关系） 在自变量的同一个变化过程x→x0（或x→∞）中，函数f（x）有极限A的充分必要条件是f（x）＝A+α，其中α是同一变化过程中的无穷小.
证明 就x→x0时的情形证明.
先证必要性.设
，则对于任意给定的正数ε，存在着正数δ，使得当x满足不等式
时，有
由极限的定义有
，所以令α＝f（x）-A，则有
，即α是x→x0时的无穷小，且
再证充分性.设f（x）＝A+α，其中A是常数，α是x→x0时的无穷小，于是
因α是x→x0时的无穷小，即有
，于是对任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当x满足不等式
时，有
即
，由极限的定义有
类似地可证明x→∞时的情形.
2.无穷小的运算性质
定理2.3.2 有限个无穷小的和也是无穷小.
证明 考虑两个无穷小之和.
设α，β是x→x0时的两个无穷小，而
任意给定ε＞0，因为α是x→x0时的无穷小，即
，存在δ1＞0，当0＜
时，有
又因β是x→x0时的无穷小，即
，存在δ2＞0，当
时，有
取δ＝min{δ1，δ2}（表示δ是δ1和δ2这两个数中较小的那个数），则当
时，
同时成立，从而有
故
，即γ＝α+β也是x→x0时的无穷小.(https://www.daowen.com)
注：x→∞时的无穷小的情形可类似证明，上述证明可推广到有限个无穷小.但需要注意无限个无穷小之和不一定是无穷小！比如
.
定理2.3.3 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.
证明 设函数u在x0的某一去心邻域
内有界，则存在M＞0，δ1＞0，使得当x满足不等式
时，恒有
.
又设α是x→x0时的无穷小，则对于任意给定的正数ε，存在δ2＞0，使得当x满足不等式
时，恒有
取δ＝min{δ1，δ2}，则当
同时成立，从而有
这就证明了uα是x→x0时的无穷小，即
.
如果函数u在数集（-∞，-K）∪（K，+∞）内是有界的（K为某一正数），而α是x→∞时的无穷小，则用类似的方法可以证明，函数uα是x→∞时的无穷小.
由定理2.3.3，可以得出如下的推论.
推论2.3.1 常数与无穷小的乘积仍是无穷小.
推论2.3.2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例2.3.1 求极限
.
解 由于
，故函数sinx在x→∞时是有界的.而函数
是x→∞时的无穷小，由定理2.3.3可知函数
是x→∞时的无穷小，即
也称为sinc函数，即
.如图2.10所示为函数
的图形，由图中可见，当x→∞时，相应的函数值交替地取正负值，但“振幅”越来越小，并无限地接近于0.y＝0是函数
的水平渐近线.
图2.10 函数
3.无穷大的概念
如果函数f（x）当x→x0（或x→∞）时，对应的函数值的绝对值|f（x）|无限增大，则称函数f（x）当x→x0（或x→∞）时为无穷大量，简称无穷大.下面给出无穷大更精确的定义.
定义2.3.2 如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数X），使得当x满足不等式0＜|x-x0|＜δ（或|x|＞X）时，所对应的函数值f（x）总满足不等式|f（x）|＞M，则称函数f（x）当x→x0（或x→∞）时为无穷大，记作
（或
.
关于无穷大定义的几点说明.
（1）无穷大（∞）是变量，不可把它与很大的数（如10亿等）混淆；
（2）由于无穷大是变量，而不是一个确定的数，所以按照函数极限的定义，当x→x0（或x→∞）时为无穷大的函数f（x）的极限是不存在的，但为了描述函数的这一性态，我们也可说“函数f（x）的极限是无穷大”；
（3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大，比如函数f（x）＝xcosx，x∈（-∞，+∞），当n→∞时
，但
，所以x→∞时，f（x）不是无穷大；
（4）如果在无穷大的定义中，把|f（x）|＞M换成f（x）＞M（或f（x）＜-M），就记作
.
例2.3.2 证明
.
图2.11 函数
的铅直渐近线
证明 设任意给定M＞0，要使
，只要
， 所以，取
，则只要x满足不等式
， 就有
即 
.
直线x＝1就是函数
的图形的铅直渐近线，如图2.11所示.
一般地说，如果
，则直线x＝x0是函数y＝f（x）的图形的铅直渐近线.
4.无穷大的运算性质
定理2.3.4 有限个无穷大的乘积是无穷大.
定理2.3.5 无穷大与有界量的和仍为无穷大.
注：无穷小的一些运算性质对无穷大不一定成立，如在自变量的同一个变化过程中，两个无穷大之和（或差）不一定是无穷大，但两个正（或负）无穷大之和仍是无穷大.
