3.5.5 微分在近似计算中的应用
1.函数值的近似计算
用微分进行近似计算的基本思想是：在微小局部将给定的函数线性化，即在x0的小邻域内，函数的增量Δy可用它的线性主部dy＝f′（x）dx来代替.
由于当Δx很小时，微分是函数改变量的主要部分且容易计算，所以微分常用于近似计算函数的增量.因为Δy≈dy，而
Δy＝f(x0+Δx)-f(x0), dy＝f′(x0)Δx
所以当
很小时，有下面的近似计算公式
f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx
若令x＝x0+Δx，则有
f(x)≈f(x0)+f′(x0)Δx
应用上述公式时，需要注意x0和Δx的选择，一般应遵循如下规则.
（1）容易计算出f（x0）和f′（x0）；
（2）
应较小，且
越小求出的近似值越精确.
特别地，当x0＝0且Δx＝x-x0＝x，
其值很小时，此时的近似计算公式变为
f(x)≈f(0)+f′(0)x
利用上式，当
很小时，可以推导出下列常用的近似计算公式：
①sinx≈x （x为弧度）；
②tanx≈x （x为弧度）；
③ex≈1+x;
④ln(1+x)≈x;
⑤（1+x）α≈1+αx（α为非零实常数）.
要记住这些公式，可由这些公式联想到等价无穷小量关系式.由第2章第2.6节可知，当x→0时，有以下等价无穷小关系式：
sinx～x;tanx～x;(ex-1)～x;ln(1+x)～x;[(1+x)α-1]～αx
在比较等价无穷小和近似计算公式后发现它们有相通之处，但需要注意符号和表示形式的区别.
例3.5.6 求sin44°的近似值.
解 设f（x）＝sinx，则由近似公式f（x0+Δx）≈f（x0）+f′（x0）Δx，有
sinx≈sinx0+cosx0(x-x0)
令
，于是有
例3.5.7 求
的近似值.(https://www.daowen.com)
解 设
，则由近似公式f（x0+Δx）≈f（x0）+f′（x0）Δx，有
令x0＝1，x＝1.02，x-x0＝0.02，于是有
另解，也可直接利用近似公式（1+x）α≈1+αx，得
例3.5.8 有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层厚度为0.01cm的铜，估计需要用铜多少g？（铜的密度是8.9g/cm2）
解 先求出铜层的体积，再乘以铜的密度就是需要用铜的质量.因为镀层的体积等于两个球体体积之差，所以也就是球体体积
当R自R0取得增量ΔR时的增量ΔV，求V对R的导数，得
所以
将R0＝1和ΔR＝0.01代入上式，得
ΔV≈4×3.14×12×0.01＝0.1256(cm3)
故所用铜的质量为 0.1256×8.9＝1.11784（g）
*2.误差估计
在实际问题中，经常需要得到某个量y的数据，但一般y的数据不易直接测量，需要建立函数关系y＝f（x），且x的数据易通过测量得到.由于测量条件和测量方法等因素的限制，测得的数据x0是x的近似值，因而y0＝f（x0）也是y的近似值，y0近似为y所产生的误差称为间接测量误差.根据测量仪器的精度，有时可以确定
的上限δx，即
δx，δx称为x的绝对误差限
称为x的相对误差限.相应地，产生的y的误差
称为y的绝对误差限
称为y的相对误差限.
利用微分近似函数的增量，如果知道了x的绝对误差限，就可以确定y的间接测量误差限，这是因为
所以y的绝对误差限为
，相对误差限为
例3.5.9 设测量圆的半径r的绝对误差是0.1cm，测得的r值为11.5cm，问圆面积的绝对误差和相对误差分别是多少？
解 圆面积公式为
S＝πr2
则S′（r）＝2πr，又r0＝11.5cm，δr＝0.1cm，因此S的绝对误差限为
δs＝S′(r0)δr＝2π×11.5×0.1＝2.3π(cm2)
相对误差限为
