6.1.1 两个典型实例
引例6.1.1 求曲边梯形的面积.
设y＝f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且f（x）≥0，那么由曲线y＝f（x），x轴及直线x＝a，x＝b（a＜b）所围成的平面图形，称为曲边梯形，如图6.1所示.
图6.1 引例6.1.1图示
在初等数学中，直边梯形的面积
（上底+下底）×高.而计算此图形的困难是：图形有一边是“曲”的，为了克服此困难，我们自然想到用矩形逼近它，但仅用一个矩形去逼近一个曲边梯形误差太大.但是，由于f（x）在[a，b]上连续变化，当区间很小时，f（x）变化很小，可近似看成常量，这就使得计算值与实际值的误差更小了，并且区间越小，f（x）变化也越小.于是，可以通过“化整为零”的求和的方法：细分[a，b]为若干小区间，用平行于y轴的直线将曲边梯形划分成若干小曲边梯形，在每个小区间上任意选定一点ξ，用f（ξ）去代替该区间上的变化的高f（x），求得小矩形的面积，用小矩形面积近似地代替小曲边梯形面积，然后求和，得到整个梯形面积的近似值.显然，大曲边梯形分割得越细，总误差会越小，若将分割无限加细，则总误差会趋于零.
具体的计算步骤如下.
（1）分割.在区间[a，b]内任意插入n-1个分点：
a＝x0＜x1＜…xi＜…＜xn-1＜xn＝b
把[a，b]分成n个小区间：[xi-1，xi]（i＝1，2，…，n），各小区间[xi-1，xi]的长度记为Δxi，在各分点处作y轴的平行线，就把曲边梯形分成n个小曲边梯形.
（2）近似（代替）.在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi，以f（ξi）为高，Δxi为底的矩形面积近似代替该区间上小曲边梯形面积ΔAi，即
ΔAi≈f(ξi)Δxi (i＝1,2,…,n)
（3）求和.整个大曲边梯形的面积近似等于各小矩形的面积之和，即
（4）取极限：记λ＝max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，当λ→0时，每个小区间的长度都趋近于0，这时如果极限
存在，则它就是曲边梯形的面积，即
对于f（x）＜0的部分，所计算出的结果为负数.可理解为x轴下方曲边梯形面积的负值.(https://www.daowen.com)
引例6.1.2 求变速直线运动的路程.
设某物体做直线运动，已知速度v＝v（t）是时间间隔[Ta，Tb]上t的连续函数，且v（t）≥0.计算在这段时间内物体所经过的路程s.在中学学过，对于匀速直线运动，有公式：
路程＝速度×时间
但是，在变速直线运动中，速度不是常量，而是随时间变化的变量.由于速度v（t）是随时间连续变化的，因此，在很短的一段时间内，速度的变化很小，近似于匀速.就可以仿照引例6.1.1的方法进行计算，具体的计算步骤如下.
（1）分割.在时间间隔[Ta，Tb]内任意插入n-1个分点：
Ta＝t0＜t1＜…ti…＜tn-1＜tn＝Tb
把[Ta、Tb]分成n个小区间：[ti-1，ti]（i＝1，2，3，…，n），各小时间段[ti-1，ti]的间隔记为Δti.
（2）近似（代替）.在每个小时间段[ti-1，ti]上任取一点τi，时间间隔Δti内物体运动的路程Δsi的近似值为
Δsi≈v(τi)Δt (i＝1,2,…,n)
（3）求和.将各小时间段内运动的路程求和，则物体在时间[Ta，Tb]内运动的路程近似为
（4）取极限：记λ＝max{Δτ1，Δτ2…，Δn} ，当λ→时，每个小时间段的间隔都趋于0，这时如果极限
存在，则它就是物体在[Ta，Tb]内运动的路程，即
引例6.1.1和引例6.1.2都以“无限分割减小误差，累加求和取极限”的思想为指导.对比两者
可以看出，尽管这两个问题的来源不同，前者是几何量，后者是物理量，但其计算方法都可归结为同一种和式的极限，其值决定于一个函数及其自变量的变化区间.即曲面和速度如何变化，以及曲边梯形的宽度和物体运动的时间.抛开这些问题的具体含义，抓住它们在方法、数量关系上共同的本质与特征加以概括，就得出定积分的定义.
