6.1.3 定积分的几何意义
结合本章第6.1.1小节中的引例
是在微小区间dx上f（x）与dx的乘积在区间[a，b]上的求和.下面分三种情况讨论定积分
表示的几何意义.
（1）在 区 间[a，b]上，当f（x）≥0时，积 分
在几何上表示曲线y＝f（x）（f（x）≥0）、x轴及两条直线x＝a，x＝b所围成的曲边梯形的面积，如图6.2所示.
（2）在区间[a，b]上，当f（x）≤0时，此时f（x）与dx的乘积≤0，由曲线y＝f（x）（f（x）≤0）、x轴及两条直线x＝a，x＝b围成的曲边梯形位于x轴的下方，如图6.3所示，定积分
在几何上表示上述曲边梯形面积的负值.
（3）在区间[a，b]上，当f（x）既取正值又取负值时，函数y＝f（x）表示的图形某些部分在x轴上方，其他部分在x轴下方，如图6.4所示，如果对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分
的几何意义为：它是介于x轴、函数f（x）表示的图形以及两直线x＝a，x＝b之间各部分面积的代数和.如图6.4所示，令x轴下方的面积为A1，x轴上方的面积为A2，则
A1.通过定积分几何意义做计算时通常将正负部分分开考虑.
图6.2 在区间[a，b]上，当f（x）≥0时，定积分
的几何意义
图6.3 在区间[a，b]上，当f（x）≤0时，定积分
的几何意义
图6.4 在区间[a，b]上，当f（x）既取正值又取负值时，定积分
的几何意义
例6.1.3 利用定积分的几何意义证明
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图6.5 例6.1.3图示
解 由定积分的几何意义可知
等于直线y＝1，x轴及直线x＝a，x＝b所围成的矩形的面积，如图6.5所示.
由矩形面积计算公式，图6.5所示的阴影部分的面积为S＝1·（b-a）＝b-a，所以
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例6.1.4 利用定积分的几何意义计算
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解 由定积分的几何意义可知
等于直线y＝x，x轴及直线x＝0（y轴），x＝1所围成的三角形的面积，如图6.6所示.
由三角形面积公式可知图6.6所示的三角形阴影区域的面积是
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例6.1.5 利用定积分的几何意义计算
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图6.6 例6.1.4图示
解 由于函数f（x）＝x3-x是奇函数，积分区间关于原点对称，因此
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本节通过两个典型应用，引出了定积分的定义.从本章的第6.2节可以看出，直接利用定积分的定义进行求解往往十分复杂，甚至不可能.接着讨论了定积分的几何意义.定积分的几何意义在有些情况下可以直观地计算出结果，简化计算过程，而对于
这样的计算就显得力不从心了.接下来的学习会逐渐帮助我们解决定积分的计算问题.
