6.1.2　定积分的定义

6.1.2　定积分的定义

定义6.1.1　设函数f（x）在[a，b]上有定义，在[a，b]内任意插入n-1个分点：

a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn＝b

把[a，b]分成n个小区间：[xi-1，xi]（i＝1，2，…，n），各小区间[xi-1，xi]的长度记为Δxi，在每个小区间上任取一点ξi∈[xi-1，xi]，作函数值f（ξi）与小区间Δxi的乘积f（ξi）Δxi（i＝1，2，…，n），其和式为，记为λ＝max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，如果不论对[a，b]如何分割，也不论ξi在小区间[xi-1，xi]如何选取，只要当λ→0时，该和式总趋于确定的极限I，这时就称这个极限I为函数f（x）在[a，b]上的定积分，记为，即

在这个表达式中：f（x）称为被积函数；f（x）dx称为被积表达式；x称为积分变量；a称为积分下限；b称为积分上限；[a，b]称为积分区间.

定积分的定义是以极限的形式给出的，因此该定义还可以用“ε-δ”方法叙述：设f（x）在[a，b]上有定义，若存在数I，对于任意ε＞0，总存在δ＞0，对于区间[a，b]的任意分割方法，且无论ξi在分割后的小区间[xi-1，xi]上如何选取，只要λ＝max＝{Δx1，Δx2，…，Δxn}＜δ，恒有，数I称为f（x）在[a，b]上的定积分，记为.

有了定积分的定义，前面讨论的两个实际问题可以分别表述如下.

（1）曲线y＝f（x）（f（x）≥0）、x轴及两条直线x＝a，x＝b所围成的曲边梯形的面积A等于函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，即

（2）物体以变速v＝v（t）（v（t）≥0）做直线运动，从Ta时刻到Tb时刻，物体经过的路程s等于函数v（t）在区间[Ta，Tb]上的定积分，即

注意：当积分存在时，若a，b是定值是确定的常数，它的大小仅与被积函数f（x）和区间[a，b]有关，而与用什么符号表示积分变量无关，即

既然上述前提是积分存在，那么函数f（x）在区间[a，b]上满足什么条件，“和式”的极限才存在？即满足什么条件，函数f（x）在区间[a，b]上可积？对于这个问题，这里不作深入探讨，而只给出以下两个充分条件.

定理6.1.1　若f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积.(https://www.daowen.com)

定理6.1.2　若f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在区间[a，b]上可积.

有定积分的定义，原理上可以应用定积分的定义解决定积分的计算问题，但其计算过程是相当复杂的.

例6.1.1　利用定义求定积分的值.

解　由于常数函数y＝f（x）＝1在区间[a，b]上是连续的，根据定理6.1.1可知，该函数在区间[a，b]上是可积的，又因为积分与区间的分割方法以及ξi的取法无关，因此不妨把区间[a，b]n等分，分点为；这样，每个小区间[xi-1，xi]的长度；在各小区间上任取ξi，由于y＝1是常函数，因此对于任意ξi，都有f（ξi）＝1.于是，由定义得到

当时，n→∞，从而

例6.1.2　利用定义计算定积分.

解　由于被积函数f（x）＝x2在区间[0，1]上是连续的，根据定理6.1.1可知，该函数在区间[0，1]上是可积的，又因为积分与区间的分割方法以及ξi的取法无关，因此不妨把区间[0，1]n等分，分点为；这样，每个小区间[xi-1，xi]的长度（i＝1，2，…，n）；取ξi＝xi（i＝1，2，…，n）.于是，由定义得到

这里应用了公式.

当时，n→∞，对上式右端取极限，由定积分的定义，即得所要计算的积分为

由例6.1.1和例6.1.2可看出，通过定义计算定积分是相当烦琐的事情.而随着被积函数的变更，有些计算甚至很难得出结果，所以必须探索新的计算方法.这个问题将在后续小节展开说明.