6.2 定积分的性质
学习目标与要求
（1）掌握定积分的性质；
（2）掌握应用定积分的性质解题的方法.
本节讨论定积分的一些基本性质，这些性质在定积分的计算和应用中起着重要作用.为了讨论和计算方便，先对定积分作以下两条规定.
（1）当a＝b时
；
（2）当a＞b时
.
规定（2）说明，交换定积分的上下限，绝对值不变，符号相反.该式还对定积分的定义做了推广，即取消了最初定积分定义中要求下限a不大于上限b的限制.在接下来的讨论中，如果不特别指明，各性质中积分上下限的大小，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的.
性质6.2.1 函数的和（差）的定积分等于各函数的定积分的和（差），即
证明 
性质6.2.2 被积函数的常数因子可以提到积分号的外面，即
证明方法与性质6.2.1类似.
注：性质6.2.1和性质6.2.2可以合并起来，即
此式被称为定积分的线性性质.
性质6.2.1和性质6.2.2可推广到多个函数的情况.
性质6.2.3（积分区间可加性） 将积分区间分成两个区间，则函数在整个区间上的积分等于在分割后的两个区间上积分的和，即设a＜c＜b，则
证明 因为函数f（x）在区间[a，b]上可积，所以不论把[a，b]怎样分，积分和的极限总是不变的.因此，在分区间时，可以使c是个分点.那么[a，b]上的积分和等于[a，c]上的积分加上[c，b]上的积分，记为
令λ→0，上式两端同时取极限，即得
备注：在性质6.2.3中，当c在[a，b]之外时也是成立的.
证明 不妨设a＜b＜c，由性质6.2.3知
，即
例6.2.1 试求定积分
的值.
解 根据定积分的几何意义可知S＝S-+S+，可求：
而在第6.1节已经求过
，利用性质6.2.2可求
由此可见，两种方法所得结果一致.在计算中可根据实际情况进行适当的拆分.
依据此性质，读者可通过定积分的几何意义计算
.
性质6.2.4（保号性） 如果在区间[a，b]上，有f（x）≥0，则
证明 根据前述定积分定义，有
因为f（x）≥0
所以f（ξi）≥0 （i＝1，2，…，n）
b＞a⇒Δxi≥0，所以
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所以
证完
推论6.2.1（保序性） 在区间[a，b]上，总有f（x）≥g（x），则
证明 因为f（x）≥g（x），所以f（x）-g（x）≥0
由性质6.2.4可知，
所以 
证完
例6.2.2 已知a＞1，试比较
的大小.
解 由于在区间[3，5]上，lnx＞1，且a＞1，所以lna+1x＞lnax，因此根据性质6.2.4的推论6.2.1得
推论6.2.2（积分估值定理） 若对任意x∈[a，b]，有m≤f（x）≤M，则
例6.2.3 证明不等式
.
证明 根据性质6.2.4的推论6.2.2，只须求得f（x）＝ex2-x在区间[0，2]上的最大、最小值就可以了，即
令f′（x）＝0，解得
.而f（0）＝1
，所以在区间[0，2]上f（x）的最小值是
最大值是e2.
根据推论6.2.2，可知不等式
成立.当
时，不等式左侧等号成立，当x＝2时，不等式右侧等号成立.
性质6.2.5 函数绝对值的积分大于或等于积分的绝对值，即
证明 因为
，由性质6.2.4推论可知，
即
性质6.2.6（定积分中值定理） 如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则至少有一点ξ∈[a，b]，满足
，这个公式称为定积分中值公式.
证明 把性质6.2.4的推论6.2.2中的不等式各除以b-a，得
该式说明，确定的数值
介于函数f（x）的最小值m及最大值M之间，根据闭区间上连续函数的介值定理，在[a，b]上至少存在一点ξ，使得
即
显然，定积分中值定理不论a＞b还是a＜b都是成立的.
定积分中值定理的几何解释：在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得以曲线y＝f（x），x轴及直线x＝a，x＝b（a＜b）所围成的曲边梯形的面积，等于以区间[a，b]长度为底，f（ξ）为高的矩形的面积，如图6.7所示.
图6.7 定积分中值定理的几何解释
通常称
为函数f（x）在[a，b]上的平均值，它是有限个数平均值的推广.
例6.2.4 求极限
（a＞0，n为自然数）.
解 因为
在区间[x，x+a]t≠0，因而连续，由定积分中值定理，有
两边取极限，得
本节讲述了定积分的6个基本性质和两个推论，这些性质在定积分的计算中具有重要的作用，应熟练掌握、灵活应用.
