6.3.1 积分上限函数及其导数
设函数f（x）在区间[a，b]上连续，任取一点x∈[a，b]，现在考查f（x）在子区间[a，x]上的定积分，即
.当f（x）在[a，b]上连续时，它在子区间[a，x]上也必然连续，因此可积.在该表达式中，注意积分上限中的x与积分变量x的含义不同，积分上限表示积分区间[a，x]的右端点，而积分变量是积分区间[a，x]内的任意值.通过前面的学习，已经知道定积分的值与积分变量选取什么符号是没有关系的，因此，为了明确起见，把积分变量改为其他符号，如t，这时定积分的表达式变为
.
对比定积分
和微分f（t）dt，微分是用来反映局部性质的，而定积分则是这些局部量在a到x上的“累积”.由此可以看出，微分和定积分是局部和整体这一对矛盾在量的方面的反映.
定义6.3.1（积分上限函数） 设f（x）在[a，b]上连续，对区间[a，b]上的每一个值x，都对应着唯一一个定积分
.根据函数定义，表达式
是定义在[a，b]上的关于x的函数，记作Φ（x），即
自变量x位于函数的积分上限的位置，故称为积分上限函数，也称为变上限积分.
积分上限函数Φ（x）具有如下重要性质.
定理6.3.1（积分上限函数求导定理） 如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限函数
在[a，b]上可导，且它的导数是
下面应用导数定义式来进行证明.
证明 设x∈[a，b]，使x获得足够小的增量Δx，使得x+Δx∈[a，b]，此时函数增量
（积分区间可加性）.
由定积分中值定理得，ΔΦ（x）＝f（ξ）Δx，ξ∈[x，x+Δx]，两端同时除以Δx，得函数增量与自变量增量的比值
当Δx→0时，ξ→x，对上式两端取极限
即Φ′（x）＝f（x） 证完
这个定理具有以下重要含义.
（1）连续函数f（x）的积分上限函数
的导数等于函数f（x）本身；
（2）连续函数f（x）的原函数存在，且它的积分上限函数就是它的一个原函数.
也就是说，作为反映整体性质的积分
是由反映局部性质的微分dΦ（x）＝f（x）dx所决定的.这在一定程度上揭示了定积分与微分的联系.
由此，可以得出如下原函数存在定理.
定理6.3.2 如果函数f（x）在区间[a，b]连续，a≤x≤b，则函数
就是f（x）在[a，b]上的一个原函数.
这个定理具有重要意义，它揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系，为通过原函数计算定积分提供了可能.
例6.3.1 计算下列函数的导数.
解 （1）这道题目可以直接用定理6.3.1进行计算，即(https://www.daowen.com)
（2）利用6.2节的规定（2），首先对
进行一个变换：
所以，
.
（3）本例中的函数变量为x，积分变量为t，所以可以将x移动到积分符号之外，令
补充：如果函数f（t）连续，a（x），b（x）可导，则
的导函数
证明 
利用复合函数求导法则有
F′（x）＝f[b（x）]b′（x）-f[a（x）]a′（x） 证完
例6.3.2 计算下列函数的导数.
解 本题中积分的上/下限是x的函数形式，因此可以应用上述补充公式解题.
所以
例6.3.3 计算极限
.
解 容易看出这是一个
型的未定式，可以应用洛必达法则来计算.
例6.3.4 试证方程
有且仅有一个实根.
解 令
，则f（x）连续可导，且有
由于1+x4≥1，且等号仅在x＝0时成立，而0＜e-cos2x≤1，-1≤sinx≤1，所以
-1≤e-cos2xsinx≤1
又x＝0时
，所以f′（x）＞0，即函数f（x）在（-∞，+∞）单调增加，而
，由连续函数的性质，f（x）在
内至少有一零点，又因f（x）单调增加，故零点唯一，所以原方程有唯一实根.
