6.3.2　牛顿—莱布尼茨公式

6.3.2　牛顿—莱布尼茨公式

利用定理6.3.2可以推导出微积分基本定理，该定理给出了利用原函数计算定积分的公式，从而得到求定积分的一个有效方法.

定理6.3.3　设f（x）是[a，b]上的连续函数，F（x）是f（x）在区间[a，b]上的任意一个原函数，则

证明　已知F（x）是连续函数f（x）的一个原函数，又根据定理6.3.2可以知道，积分上限的函数

也是f（x）的一个原函数，于是这两个原函数之差F（x）-Φ（x）在[a，b]上必定是某一个常数C，所以

上式中分别令x＝a，x＝b，得到(https://www.daowen.com)

常数项得以消去，因此

这个公式就称为牛顿—莱布尼茨公式，为了方便起见，可以把F（b）-F（a）记为，即

有些资料也把牛顿—莱布尼茨公式中的记为.

牛顿—莱布尼茨公式被称为微积分的基本公式，它将定积分的计算由一个复杂和式的极限问题转化为求原函数的问题.可见该公式在微积分学中的重要地位，这个公式揭示了定积分与被积函数原函数或不定积分之间的联系，一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任一个原函数在区间[a，b]上的增量，这就给定积分提供了一个方便可行的计算方法.